Kezdőlap


Feladat:	C.835	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kótai Bianka , Nagy Zoltán
Füzet:	2006/szeptember, 339 - 340. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: C.835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyünk 100 kavicsot, és tegyük őket egymás mellé sorba. A három részre osztáshoz két helyen kell elválasztani a kövek sorát. A 100 kő között 99 ,,lyuk'' van, ahol ezt megtehetjük. A 99 ,,lyukból'' kiválasztunk kettőt, ez $(\binom{99}{2})$ -féleképpen lehetséges. Így három kupac keletkezik: $x$ ; $y$ ; $z$ darab kővel.
Tehát $(\binom{99}{2}) = 4851$ megoldása van az egyenletnek a pozitív egész számok körében.

II. megoldás. Egyik szám sem lehet 99, hiszen ekkor még legalább

2 \cdot 1

-et hozzá kellene adnunk, amit már nem tehetünk meg. Készítünk egy táblázatot:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & y & z \\ 98 & 1 & 1 & 1 megoldás \\ 97 & 1 & 2 & 2 megoldás \\ 97 & 2 & 1 \\ 96 & 1 & 3 & 3 megoldás \\ 96 & 2 & 2 \\ 96 & 3 & 1 \\ 95 & 1 & 4 & 4 megoldás \\ 95 & 2 & 3 \\ 95 & 3 & 2 \\ 95 & 4 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 2 & 1 & 97 & 97 megoldás \\ 2 & 2 & 96 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 2 & 97 & 1 \\ 1 & 1 & 98 & 98 megoldás \\ 1 & 2 & 97 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 98 & 1 \end{matrix} \end{matrix}

Ezek után a kapott megoldás-számokat össze kell adnunk:

\begin{matrix} 1 + 2 + 3 + ... + 96 + 97 + 98 = \frac{98 \cdot 99}{2} = 4851. \end{matrix}

Tehát 4851 megoldása van az

x + y + z = 100

egyenletnek a pozitív egész számok körében.

Megjegyzés. A feladatban a változók jelentésének megfelelően megkülönböztetjük a ,,kupacokat'', tehát például az

1 + 98 + 1

és a

98 + 1 + 1

felbontásokat különbözőknek tekintjük.