Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szűcs Gábor
Füzet:	2007/október, 389 - 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög területe, Hasonlósági transzformációk, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: 2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szűcs Gábor megoldása. Elég belátni, hogy a 2. ábrán jelölt $R P K$ , illetve $R Q L$ háromszögeknél kétszerte nagyobb területű $R P B$ és $R Q A$ háromszögek területe egyenlő. Az $A B C$ háromszög szögeit jelölje a szokásos módon $α$ , $β$ , $γ$ ; meghatározzuk a szóban forgó két háromszög szögeit. Az $A C Q$ háromszög egyenlő szárú, ezért

\begin{matrix} Q A C ∢ = Q C A ∢ = \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Így

R Q A ∢ = Q C A ∢ + C A Q ∢ = γ

, és ehhez teljesen hasonlóan adódik, hogy

B P R ∢ = γ

. A kerületi szögek tétele alapján

A R Q ∢ = A B C ∢ = β

, tehát

\begin{matrix} R A Q ∢ = 180^{\circ} - A R Q ∢ - R Q A ∢ = α . \end{matrix}

Hasonlóan kaphatjuk, hogy a

B P R

háromszög szögei ugyancsak

α

β

γ

; tehát

A R Q

és

B P R

hasonló háromszögek. Mivel az

A R

és

R B

ívekhez tartozó kerületi szög egyaránt

\frac{γ}{2}

, azért

A R = R B

: a két hasonló háromszögben a

γ

-val szemközti oldalak egyenlő hosszúak, így a két háromszög egybevágó, s ezért a területük is egyenlő.

1. ábra

2. ábra