Feladat: 2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hujter Bálint 
Füzet: 2007/október, 387 - 388. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák, Simson-egyenes, Szögfelező egyenes, Húrnégyszögek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/szeptember: 2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hujter Bálint megoldása. A BCED körülírt köre legyen k, a CG szakasz felezőpontja (egyben az E-ből CG-re állított merőleges talppontja) T, hasonlóan az FC felezőpontja (ami az E-ből FC-re állított merőleges talppontja) S, az E-ből a DB egyenesre emelt merőleges talppontja R, végül az ST és az AC egyenes metszéspontja R'.
Megmutatjuk, hogy R'=R, és ez a pont az ABCD parallelogramma középpontja.
Az S, T, R pontok egy egyenesen, a BCD háromszög E-hez tartozó Simson-egyenesén vannak. Alkalmazzunk 2-szeres nagyítást a C-ből; ennek során T képe G, S képe F. A Simson-egyenes képe ezért ℓ, így R' képe A; vagyis R' az AC szakasz felezőpontja. Az R' a DB szakasz felezőpontjaként a Simson-egyenesnek DB-vel alkotott metszéspontja, ezért egybeesik R-rel.

 

 

Az ER szakasz merőlegesen felezi a DB-t, azaz EB=ED. Így az EDF és EBC háromszögek két-két oldala (ED és EB, illetve EF és EC) egyenlő, és megegyeznek az EF és EC oldalakkal szemközti szögek is, hiszen EDF∢ és EBC∢ egyaránt ugyanahhoz az EC ívhez tartozó kerületi szög k-ban. Mivel DFE∢ az egyenlő szárú EFC háromszög alapon fekvő ‐ tehát hegyes ‐ EFC szögének külső szöge, azért DFE∢>90∘, és hasonlóan BCE∢>90∘. Tehát a tompaszögű EDF és EBC háromszögek egybevágóak; DF=BC.
 

 

A parallelogramma párhuzamos oldalai miatt az ADF és a GCF háromszögek megfelelő szögei egyenlők, e két háromszög hasonló, ezért GCFC=ADDF. Így AD=BC=DF miatt GC=FC, vagyis az FCG (és a hozzá hasonló FDA) háromszög egyenlő szárú. A paralelogramma párhuzamos AB és DC oldalai révén az ABG háromszög is hasonló FCG-hez, így ugyancsak egyenlő szárú. Tehát DAF∢=DFA∢=CFG∢=CGF∢=FAB∢.