Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovász László Miklós
Füzet:	2007/október, 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozatok monotonitása, korlátossága, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Valós számok és tulajdonságaik, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: 2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Lovász László Miklós megoldása. $(a)$ Mivel ${max}_{}^{} {a_{j} : 1 \leq j \leq i} \geq a_{i}$ , és ${min}_{}^{} {a_{j} : i \leq j \leq n} \leq a_{i}$ , nyilván $d_{i} \geq 0$ . Jelöljön $k$ egy olyan indexet, amelyre $d = d_{k}$ ; hasonlóan, legyen $a_{ℓ} = {max}_{}^{} {a_{j} : 1 \leq j \leq k}$ és $a_{m} = {min}_{}^{} {a_{j} : k \leq j \leq n}$ . Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben léteznek olyan $x_{1} \leq x_{2} \leq ... \leq x_{n}$ valós számok, amelyekre $| x_{i} - a_{i} | < \frac{d}{2}$ , minden $i \leq n$ -re. Ekkor azonban az

\begin{matrix} a_{ℓ} - x_{ℓ} \leq | x_{ℓ} - a_{ℓ} | < \frac{d}{2}, x_{m} - a_{m} \leq | x_{m} - a_{m} | < \frac{d}{2} \end{matrix}

egyenlőtlenségek összege:

a_{ℓ} - a_{m} + x_{m} - x_{ℓ} < d

.
Másrészt

ℓ \leq k \leq m

miatt

ℓ \leq m

, és ezért

x_{m} \geq x_{ℓ}

. Így viszont

a_{ℓ} - a_{m} + x_{m} - x_{ℓ} = d_{k} + x_{m} - x_{ℓ} \geq d

, ami az előbbi egyenlőtlenségnek ellentmond.

(b)

Minden

1 \leq i \leq n

indexre legyen

\begin{matrix} x_{i} = \frac{{max}_{}^{} {a_{j} : 1 \leq j \leq i} + {min}_{}^{} {a_{j} : i \leq j \leq n}}{2} . \end{matrix}

Ez az

x_{i}

sorozat valóban növekedő, mivel az összeg mindkét tagja monoton növő az

i

függvényében: bővebb számhalmaz maximuma legalább akkora, mint a szűkebbé, egy halmazt szűkítve pedig a minimum ugyancsak nő. Az

A_{i} = {max}_{}^{} {a_{j} : 1 \leq j \leq i}

és

B_{i} = {min}_{}^{} {a_{j} : i \leq j \leq n}

jelölésekkel

A_{i} \geq a_{i} \geq B_{i}

d_{i} = A_{i} - B_{i}

, így

\begin{matrix} x_{i} - a_{i} \leq x_{i} - B_{i} & = \frac{A_{i} + B_{i}}{2} - B_{i} = \frac{A_{i} - B_{i}}{2} = \frac{d_{i}}{2}, \\ a_{i} - x_{i} \leq A_{i} - x_{i} & = A_{i} - \frac{A_{i} + B_{i}}{2} = \frac{A_{i} - B_{i}}{2} = \frac{d_{i}}{2} . \end{matrix}

Tehát minden

i

-re

| x_{i} - a_{i} | \leq \frac{d_{i}}{2} \leq \frac{d}{2}

, azaz

{max}_{}^{} {| x_{j} - a_{j} | : 1 \leq j \leq n} \leq \frac{d}{2}

; az

(a)

-ban kapott általános becsléssel összevetve ez igazolja, hogy a választott

x_{i}

számok mellett

(*)

-ban egyenlőség áll.