Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/november, 497 - 501. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háttérsugárzás, Egyéb kozmológia, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1.1. kérdés. Bármilyen alkalmas egyenlet felhasználásával megkaphatjuk a kérdéses mennyiségek dimenzióját. Például a következő kínálkozó lehetőségekkel élhetünk:
I) A Planck-összefüggés alapján:

\begin{matrix} h ν = E \Rightarrow [h] [ν] = [E] \Rightarrow [h] = [E] \cdot {[ν]}^{- 1} = M L^{2} T^{- 1} . \end{matrix}

II)

[c] = L T^{- 1}

.
III) A tömegvonzási törvény alapján:

\begin{matrix} F = γ \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} \Rightarrow [G] = [F] {[r]}^{2} {[m]}^{- 2} = M^{- 1} L^{3} T^{- 2} . \end{matrix}

IV) Az ekvipartíció tétel segítségével:

E = \frac{1}{2} k_{B} θ

, ahol

θ

-val jelöltük a hőmérsékletet. Ennek alapján

[k_{B}] = [E] {[θ]}^{- 1} = M L^{2} T^{- 2} K^{- 1}

1.2. kérdés. Például a Stefan‐Boltzmann-törvény felhasználásával:

\begin{matrix} \frac{Teljesítmény}{Felület} = σ \cdot θ^{4}, \end{matrix}

amiből

[σ] K^{4} = [E] L^{- 2} T^{- 1} \Rightarrow [σ] = M T^{- 3} K^{- 4}

1.3. kérdés. Egy számfaktortól eltekintve a Stefan‐Boltzmann-állandó a következő alakban írható fel:

σ = h^{α} c^{β} G^{γ} k_{B}^{δ}

, ahol

α

β

γ

és

δ

értékét dimenzióanalízissel állapítjuk meg:

[σ] = {[h]}^{α} {[c]}^{β} {[G]}^{γ} {[k_{B}]}^{δ}

, ahol például

[σ] = M T^{- 3} K^{- 4}

. Szép sorjában írjuk be az összes dimenziót:

\begin{matrix} M T^{- 3} K^{- 4} & = {(M L^{2} T^{- 1})}^{α} {(L T^{- 1})}^{β} {(M^{- 1} L^{3} T^{- 2})}^{γ} (M L^{2} T^{- 2} K^{- 1}) = \\ = M^{α - γ + δ} L^{2 α + β + 3 γ + 2 δ} T^{- α - β - 2 γ - 2 δ} K^{- δ} . \end{matrix}

A hatványkitevők egybevetéséből a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} α - γ + δ & = 1 \\ 2 α + β + 3 γ + 2 δ & = 0 \\ - α - β - 2 γ - 2 δ & = - 3 \\ - δ & = - 4 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} α & = - 3, \\ β & = - 2, \\ γ & = 0, \\ δ & = 4, \end{matrix} vagyis σ = \frac{k_{B}^{4}}{c^{2} h^{3}} . \end{matrix}

2.1. kérdés. Az eseményhorizont

A

területe a fekete lyuk

m

tömegétől, a

c

fénysebességtől és a

G

egyetemes gravitációs állandótól függ:

A = G^{α} c^{β} m^{γ}

. A dimenzióanalízis módszere már a könyökünkön jön ki:

\begin{matrix} = {[G]}^{α} {[c]}^{β} {[m]}^{γ} \Rightarrow \\ \Rightarrow L^{2} & = {(M^{- 1} L^{3} T^{- 2})}^{α} {(L T^{- 1})}^{β} {(M)}^{γ} = M^{- α + γ} L^{3 α + β} T^{- 2 α - β} . \end{matrix}

Most csak három ismeretlent tartalmaz az egyenletrendszer:

\begin{matrix} \begin{matrix} - α + γ & = 0 \\ 3 α + β & = 2 \\ - 2 α - β & = 0 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} α & = 2, \\ β & = - 4, \\ γ & = 2, \end{matrix} vagyis A = \frac{m^{2} G^{2}}{c^{4}} . \end{matrix}

2.2. kérdés. Az entrópia

d S = d Q / θ

termodinamikai definíciója (

d Q

a hőközlés mértéke,

θ

pedig a rendszer abszolút hőmérséklete) alapján az entrópia dimenziója:

[S] = [E] {[θ]}^{- 1} = M L^{2} T^{- 2} K^{- 1}

2.3. kérdés. Az

η

állandó dimenzióját Bekenstein nyomán (

η = S / A

), valamint az alapvető fizikai állandók (

h

c

G

és

k_{B}

) függvényeként így fejezhetjük ki:

\begin{matrix} = [S] {[A]}^{- 1} = M T^{- 2} K^{- 1}, \\ [η] & = {[G]}^{α} {[h]}^{β} {[c]}^{γ} {[k_{B}]}^{δ} = M^{- α + β + δ} L^{3 α + 2 β + γ + 2 δ} T^{- 2 α - β - γ - 2 δ} K^{- δ} . \end{matrix}

A hatványkitevők összevetése megint négyismeretlenes egyenletrendszerrel örvendeztet meg minket, ami azonban csak három ismeretlennel bír:

\begin{matrix} \begin{matrix} - α + β + δ & = 1 \\ 3 α + 2 β + γ + 2 δ & = 0 \\ - 2 α - β - γ - 2 δ & = - 2 \\ δ & = 1 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} α & = - 1, \\ β & = - 1, \\ γ & = 3, \\ δ & = 1, \end{matrix} vagyis η = \frac{c^{3} k_{B}}{G h} . \end{matrix}

A továbbiakban már nem kell használnunk a dimenzióanalízis módszerét, ami nagy öröm, mert mostanra még a legelszántabbak is valószínűleg megcsömörlöttek tőle.

3.1. kérdés. A termodinamika első főtétele alapján

d E = d Q + d W

, ahol közelítésként feltesszük, hogy

d W = 0

. Az entrópia

d S = d Q / θ

definícióját felhasználva ezt kapjuk:

d E = θ_{H} d S + 0

.
Használjuk fel, hogy

S = \frac{G k_{B}}{c h} m^{2}

E = m c^{2}

Így a fekete lyuk Hawking-hőmérsékletére a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} θ_{H} = \frac{d E}{d S} = {(\frac{d S}{d E})}^{- 1} = c^{2} {(\frac{d S}{d m})}^{- 1} . \end{matrix}

Elvégezve a deriválást, megkapjuk a végeredményt:

\begin{matrix} θ_{H} = (\frac{1}{2}) \frac{c^{3} h}{G k_{B}} \cdot \frac{1}{m} . \end{matrix}

Megjegyezzük, hogy a végeredményben található

1 / 2

-es faktornak nincs jelentősége, elhagyható, csak a deriválás miatt maradt az összefüggésben.

3.2. kérdés. A Stefan‐Boltzmann-törvény az egységnyi felületre jutó kisugárzott teljesítményt adja meg. Figyelembe véve az

E = m c^{2}

összefüggést is, a következő egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{d E}{d t} & = - σ θ_{H}^{4} A \\ σ & = \frac{k_{B}^{4}}{c^{2} h^{3}} \\ A & = \frac{m^{2} G^{2}}{c^{4}} \\ E & = m c^{2} \end{matrix}} \Rightarrow c^{2} \frac{d m}{d t} = - \frac{k_{B}^{4}}{c^{2} h^{3}} {(\frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \cdot \frac{1}{m})}^{4} \frac{m^{2} G^{2}}{c^{4}} . \end{matrix}

Az egyszerűsítések elvégzése után:

\begin{matrix} \frac{d m}{d t} = - \frac{1}{16} \frac{c^{4} h}{G^{2}} \cdot \frac{1}{m^{2}} . \end{matrix}

3.3. kérdés. A változók szétválasztásával a következő integrált végezhetjük el:

\begin{matrix} \frac{d m}{d t} = - \frac{1}{16} \frac{c^{4} h}{G^{2}} \frac{1}{m^{2}} \Rightarrow \int m^{2} d m = - \int \frac{c^{4} h}{16 G^{2}} d t \Rightarrow m^{3} (t) - m^{3} (0) = - \frac{3 c^{4} h}{16 G^{2}} t . \end{matrix}

Amikor a fekete lyuk

t = t^{*}

-kor teljesen elpárolog:

\begin{matrix} m (t^{*}) = 0 \Rightarrow t^{*} = \frac{16 G^{2}}{3 c^{4} h} m^{3} . \end{matrix}

3.4. kérdés. A fekete lyuk

C_{V}

hőkapacitása megmutatja, hogy a

θ

hőmérséklet egységnyi megváltozásához mekkora

E

energiaváltozás tartozik:

\begin{matrix} \begin{matrix} C_{V} & = \frac{d E}{d θ} \\ E & = m c^{2} \\ θ & = \frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \frac{1}{m} \end{matrix}} \Rightarrow C_{V} = - \frac{2 G k_{B}}{c h} m^{2} . \end{matrix}

4.1. kérdés. Újra a Stefan‐Boltzmann-törvény adja meg a fekete lyuk egységnyi felületének energiaveszteségi ütemét. A fekete lyuk kozmikus háttérsugárzás miatti energia nyereségét egy hasonló összefüggés írja le. Ezt úgy láthatjuk be, hogy termikus egyensúlyban a teljes energia változásnak el kell tűnnie. Ebből az következik, hogy az energia nyereség ütemét a Stefan‐Boltzmann-törvénnyel teljesen megegyező formula jellemzi:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{d E}{d t} & = - σ θ^{4} A + σ θ_{B}^{4} A \\ E & = m c^{2} \end{matrix}} \Rightarrow \frac{d m}{d t} = - \frac{h c^{4}}{16 G^{2}} \frac{1}{m^{2}} + \frac{G^{2}}{c^{8} h^{3}} {(k_{B} θ_{B})}^{4} m^{2} . \end{matrix}

4.2. kérdés. Vegyük a

\frac{d m}{d t} = 0

esetet:

\begin{matrix} - \frac{h c^{4}}{16 G^{2}} \frac{1}{m^{* 2}} + \frac{G^{2}}{c^{8} h^{3}} {(k_{B} θ_{B})}^{4} m^{* 2} = 0, amiből m^{*} = \frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \frac{1}{θ_{B}} . \end{matrix}

4.3. kérdés.

\begin{matrix} θ_{B} = \frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \frac{1}{m^{*}} \Rightarrow \frac{d m}{d t} = - \frac{h c^{4}}{16 G^{2}} \frac{1}{m^{2}} (1 - \frac{m^{4}}{m^{* 4}}) . \end{matrix}

4.4. kérdés. Használjuk fel a 4.2. és a 3.1. részkérdésekre adott válaszeredményeket:

\begin{matrix} m^{*} = \frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \frac{1}{θ_{B}} és θ^{*} = \frac{c^{3} h}{2 G k_{B}} \frac{1}{m^{*}} = θ_{B} . \end{matrix}

Úgy is érvelhetünk, hogy

m^{*}

felel meg a termikus egyensúlynak. Így

m = m^{*}

esetén a fekete lyuk hőmérséklete

θ_{B}

. Az is elfogadható megoldás, hogy termikus egyensúly esetén

\begin{matrix} \frac{d E}{d t} = - σ (θ^{* 4} - θ_{B}^{4}) A = 0, amiből θ^{*} = θ_{B} . \end{matrix}

4.5. kérdés. A 4.3. eredmény alapján megmutatható, hogy az egyensúly instabil:

\begin{matrix} \frac{d m}{d t} = - \frac{h c^{4}}{16 G^{2}} \frac{1}{m^{2}} (1 - \frac{m^{4}}{m^{* 4}}) \Rightarrow \begin{matrix} m > m^{*} \\ m < m^{*} \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} \frac{d m}{d t} > 0. \\ \frac{d m}{d t} < 0. \end{matrix} \end{matrix}

Kónya Gábor (aki maximális pontszámra írta meg az elméleti feladatok megoldását) a következő kiegészítéssel látta el dolgozatát a diákolimpián. Munkáját, amelyben dimenzióanalízis nélkül, alapvető fizikai megfontolások segítségével vezeti le a Hawking-probléma kevéssé ismert formuláit, változtatás nélkül közöljük.

A (m)

θ_{H} (m)

S (m)

képletek egy alternatív levezetése:
Vegyünk egy

p

impulzusú fotont a fekete lyukban, a középponttól

r

távolságra. A foton teljes energiája:

\begin{matrix} p c - G \frac{\frac{p}{c} m}{r} \leq 0 \Rightarrow r \leq \frac{G m}{c^{2}} . \end{matrix}

Az eseményhorizont sugara és felülete:

\begin{matrix} R = \frac{G m}{c^{2}} és A = 4 π R^{2} = 4 π \frac{G^{2} m^{2}}{c^{4}} \approx \frac{G^{2} m^{2}}{c^{4}} . \end{matrix}

R

sugarú gömbbe zárt foton impulzusát a határozatlansági relációból

p = \frac{ℏ}{R}

-nek becsülhetjük. Egy foton mozgási energiája:

\begin{matrix} p c = \frac{ℏ c}{R} = \frac{ℏ c^{3}}{G m} \approx \frac{h c^{3}}{G m} . \end{matrix}

A rendszer hőmérséklete:

θ_{H} \approx \frac{p c}{k} = \frac{h c^{3}}{G k m}

(ekvipartíció-tétel). A rendszer entrópiája:

\begin{matrix} S = \int \frac{d (m c^{2})}{θ_{H}} = \frac{G k}{h c} \cdot \frac{1}{2} m^{2} \approx \frac{G k}{h c} \cdot m^{2} . \end{matrix}

η = \frac{S}{A} = \frac{k c^{3}}{h G} = állandó

.
Az eredmények megegyeznek a dimenzióanalízissel kaphatókkal, de az

S \sim A

összefüggést bizonyítottuk, nem feltételeztük.