Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/november, 494 - 497. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladatok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1.1. kérdés. A kondenzátorlemezre felírva a Gauss-törvényt megkapjuk a térerősséget: $E = \frac{Q}{ε_{0} A}$ . A térerősséget a két kondenzátorlemezen lévő töltés együttesen hozza létre, így mindkét lemez hozzájárulása $\frac{1}{2} E$ . Ennek alapján a lemezek közt ható erő:

\begin{matrix} F_{e} = \frac{1}{2} E Q = \frac{Q^{2}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

1.2. kérdés. A Hooke-törvény alapján a rugóerő:

F_{m} = - k x

. Az előző kérdésben levezettük a lemezek közt ható elektromos erőt:

F_{e} = \frac{Q^{2}}{2 ε_{0} A}

. A rendszer egyensúlyában

F_{m} + F_{e} = 0

, amiből

x = \frac{Q^{2}}{2 ε_{0} A k}

1.3. kérdés. A térerősség a kondenzátorlemezek között homogén, így a lemezek közötti

V

potenciálkülönbség egyszerűen számolható:

V = E (d - x)

. Behelyettesítve az előző részekben kapott eredményeket, kapjuk:

\begin{matrix} V = \frac{Q d}{ε_{0} A} (1 - \frac{Q^{2}}{2 ε_{0} A k d}) . \end{matrix}

1.4. kérdés. A

C

kapacitás a töltés és a potenciálkülönbség hányadosa:

C = \frac{Q}{V}

. Felhasználva az előző kérdésre kapott eredményt:

\begin{matrix} \frac{C}{C_{0}} = {(1 - \frac{Q^{2}}{2 ε_{0} A k d})}^{- 1} . \end{matrix}

1.5. kérdés. A rugóban tárolt mechanikai energia

U_{m} = \frac{1}{2} k x^{2}

, a kondenzátorban tárolt elektromos energia pedig

U_{E} = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C}

. Így a rendszerben tárolt teljes energia

\begin{matrix} U = \frac{Q^{2} d}{2 ε_{0} A} (1 - \frac{Q^{2}}{4 ε_{0} A k d}) . \end{matrix}

2.1. kérdés. Adott

x

érték esetén az egyes kondenzátorok töltése egyszerűen számolható:

\begin{matrix} Q_{1} = V C_{1} = \frac{ε_{0} A V}{d - x}, Q_{2} = V C_{2} = \frac{ε_{0} A V}{d + x} . \end{matrix}

2.2. kérdés. Ne felejtsük el, hogy két kondenzátorunk van. Felhasználva az 1.1. kérdésre kapott választ, az egyes kondenzátorokban fellépő erő

\begin{matrix} F_{1} = \frac{Q_{1}^{2}}{2 ε_{0} A}, F_{2} = \frac{Q_{2}^{2}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

Mivel a két erő ellentétes irányú, az eredő erő

\begin{matrix} F_{e} = F_{1} - F_{2} = \frac{ε_{0} A V^{2}}{2} (\frac{1}{{(d - x)}^{2}} - \frac{1}{{(d + x)}^{2}}) . \end{matrix}

2.3. kérdés. Elhanyagolva az

x^{2}

-rendű tagokat, kapjuk:

\begin{matrix} F_{e} = \frac{2 ε_{0} A V^{2}}{d^{3}} x . \end{matrix}

2.4. kérdés. Két,

k

rugóállandójú rugó van sorba kapcsolva, így az eredő mechanikai erő

F_{m} = - 2 k x

. Az elektromos és a mechanikai erő ellentétes irányú, így, felhasználva az előző kérdésre kapott eredményt, az eredő erő

\begin{matrix} F = F_{m} + F_{e} = - 2 (k - \frac{ε_{0} A V^{2}}{d^{3}}) x, ebből pedig k_{eff} = 2 (k - \frac{ε_{0} A V^{2}}{d^{3}}) . \end{matrix}

2.5. kérdés. Felhasználva Newton II. törvényét és az előző eredményt

\begin{matrix} a = - \frac{2}{m} (k - \frac{ε_{0} A V^{2}}{d^{3}}) x . \end{matrix}

3.1. kérdés. Írjuk fel az áramkörre a Kirchhoff-törvényeket!

\begin{matrix} \frac{Q_{K}}{C_{K}} + V - \frac{Q_{2}}{C_{2}} = 0, - \frac{Q_{K}}{C_{K}} + V - \frac{Q_{1}}{C_{1}} = 0, Q_{2} - Q_{1} + Q_{K} = 0. \end{matrix}

Felhasználva, hogy

V_{K} = \frac{Q_{K}}{C_{K}}

, kapjuk:

\begin{matrix} V_{K} = V \frac{\frac{2 ε_{0} A x}{d^{2} - x^{2}}}{C_{K} + \frac{2 ε_{0} A d}{d^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

3.2. kérdés. Elhanyagolva az

x^{2}

-rendű tagokat, kapjuk:

\begin{matrix} V_{K} = V \frac{2 ε_{0} A x}{d^{2} C_{K} + 2 ε_{0} A d} . \end{matrix}

4.1. kérdés. Az elektromos és a mechanikai erő hányadosa

\begin{matrix} \frac{F_{e}}{F_{m}} = \frac{ε_{0} A V^{2}}{k_{eff} d^{3}} . \end{matrix}

Behelyettesítve a numerikus értékeket

\begin{matrix} \frac{F_{e}}{F_{m}} = 7, 6 \times 10^{- 9} . \end{matrix}

Az elektromos erők valóban elhanyagolhatók a rugóerők mellett.

4.2. kérdés. Az előzőek szerint elegendő a rugóerőt figyelembe vennünk:

F = 2 k x

. Így a gyorsuló (lassuló) rendszerben a mozgó lemez egyensúlyi elmozdulása

x = \frac{m a}{2 k}

. A maximális elmozdulás ennek éppen kétszerese, hiszen a mozgó lemez túllendül az egyensúlyi helyzeten:

\begin{matrix} x_{{max}_{}^{}} = 2 x, x_{{max}_{}^{}} = \frac{m a}{k} . \end{matrix}

4.3. kérdés. Ha a gyorsulás

a = g

, a maximális elmozdulás

\begin{matrix} x_{{max}_{}^{}} = \frac{m g}{k} . \end{matrix}

Továbbá felhasználva a 3.2. kérdésre kapott eredményt:

\begin{matrix} V_{K} = V \frac{2 ε_{0} A x_{{max}_{}^{}}}{d^{2} C_{K} + 2 ε_{0} A d} . \end{matrix}

Kifejezve

C_{K}

-t, és felhasználva, hogy

V_{K} = 0, 15

\begin{matrix} C_{K} = \frac{2 ε_{0} A}{d} (\frac{V x_{{max}_{}^{}}}{V_{K} d} - 1), C_{K} = 8, 0 \times 10^{- 11} F. \end{matrix}

4.4. kérdés. Legyen

ℓ

a vezető feje és a kormány közötti távolság. Ennek becsült értéke

ℓ = 0, 4

m ‐ 1 m.
Abban a pillanatban, amikor a lassulás elkezdődik, a vezető fejének az autóhoz viszonyított relatív sebessége nulla.

Δ v (t = 0) = 0

, így

\begin{matrix} ℓ = \frac{1}{2} g t_{1}^{2}, t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 ℓ}{g}}, t_{1} = 0,3 s ‐ 0,5 s. \end{matrix}

4.5. kérdés. A

t_{2}

idő a harmonikus rezgést végző lemez periódusidejének fele:

t_{2} = \frac{T}{2}

, a periódusidő:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{k}}, \end{matrix}

így

t_{2} = 0, 019

s.
Mivel

t_{1} > t_{2}

, a légzsák időben aktiválódik.

Megjegyzés a feladathoz: A gyakorlatban valóban ilyen elven működő gyorsulásmérők aktiválják az autók légzsákját. A valóságos és a feladatban szereplő eszközök között a legfontosabb különbség a méretekben van! A kereskedelemben kapható gyorsulásérzékelők integrált áramköri technológiával készülnek, a miniatürizált mechanikai alkatrészek és az elektronika ugyanazon az egy-két mm

^{2}

felületű félvezető csipen kerülnek kialakításra. Az apró és olcsó (néhány dolláros) eszközöket egyre több helyen használják rezgések mérésére és szabályozására; segítségükkel például csökkenthető a mosógépek centrifugálás közben fellépő rezonanciája.