Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/november, 493 - 494. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kettőscsillagok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1.1. kérdés. Periódusidő: $3 nap = 2, 6 \cdot 10^{5}$ s.
Periódusidő $= \frac{2 π}{ω}$ , innen a szögsebesség: $ω = 2, 4 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{s}$ .

1.2. kérdés. Nevezzük

α

-nak és

β

-nak az 1. ábrán² látható minimumokat:

\frac{I_{1}}{I_{0}} = α = 0, 90

és

\frac{I_{2}}{I_{0}} = β = 0, 63

. Ezek segítségével a következő összefüggéseket kapjuk:

\begin{matrix} \frac{I_{0}}{I_{1}} = 1 + {(\frac{R_{2}}{R_{1}})}^{2} {(\frac{T_{2}}{T_{1}})}^{4} = \frac{1}{α}, \frac{I_{2}}{I_{1}} = 1 - {(\frac{R_{2}}{R_{1}})}^{2} (1 - {(\frac{T_{2}}{T_{1}})}^{4}) = \frac{β}{α} . \end{matrix}

Ezekből az összefüggésekből a kérdéses arányok kiszámíthatóak:

\begin{matrix} \frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt[]{\frac{α}{1 - β}} = 1, 56, \frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt[4]{\frac{1 - β}{1 - α}} = 1, 39. \end{matrix}

2.1. kérdés. A Doppler-eltolódás alapján:

\frac{Δ λ}{λ_{0}} ≅ \frac{v}{c}

. A maximális és minimális hullámhosszak:

λ_{1, {max}_{}^{}} = 5897, 7

Å

λ_{1, {min}_{}^{}} = 5894, 1

Å

λ_{2, {max}_{}^{}} = 5899, 0

Å

λ_{2, {min}_{}^{}} = 5892, 8

Å

.
A maximális és minimális hullámhosszak különbsége:

Δ λ_{1} = 3, 6

Å

Δ λ_{2} = 6, 2

Å

.
Vegyük észre, hogy a Doppler-eltolódás a pályamenti sebességek kétszereséből adódik:

\begin{matrix} v_{1} = c \frac{Δ λ_{1}}{2 λ_{0}} = 9, 2 \cdot 10^{4} m/s, v_{2} = c \frac{Δ λ_{2}}{2 λ_{0}} = 1, 6 \cdot 10^{5} m/s . \end{matrix}

2.2. kérdés. Mivel a tömegközéppont nem mozog hozzánk képest:

\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{v_{2}}{v_{1}} = 1, 7

2.3. kérdés. Felhasználva, hogy

r_{i} = \frac{v_{i}}{ω}

(

i = 1,2

), kiszámíthatjuk a csillagok pályájának sugarát:

r_{1} = 3, 8 \cdot 10^{9}

m és

r_{2} = 6, 5 \cdot 10^{9}

2.4. kérdés.

r = r_{1} + r_{2} = 1, 0 \cdot 10^{10}

3.1. kérdés. A gravitációs erő megegyezik a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzatával:

\begin{matrix} G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = m_{1} \frac{v_{1}^{2}}{r_{1}} = m_{2} \frac{v_{2}^{2}}{r_{2}} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} m_{1} = \frac{r^{2} v_{2}^{2}}{G r_{2}} = 6 \cdot 10^{30} kg, m_{2} = \frac{r^{2} v_{1}^{2}}{G r_{1}} = 3 \cdot 10^{30} kg. \end{matrix}

4.1. kérdés. A grafikon alapján világosan látszik, hogy a pontokra illeszthető egyenes meredeksége egy értékes jegy pontossággal

α = 4

4.2. kérdés. Az előző részfeladat eredménye alapján:

\begin{matrix} L_{i} = L_{Nap} {(\frac{M_{i}}{M_{Nap}})}^{4} . \end{matrix}

Így

L_{1} = 3 \cdot 10^{28}

W és

L_{2} = 4 \cdot 10^{27}

4.3. kérdés. A rendszer teljes kisugárzott teljesítménye egy

d

sugarú gömb mentén oszlik el egyenletesen, és hozza létre az észlelhető

I_{0}

intenzitást:

\begin{matrix} I_{0} = \frac{L_{1} + L_{2}}{4 π d^{2}}, ebből d = \sqrt[]{\frac{L_{1} + L_{2}}{4 π I_{0}}} = 10^{18} m = 100 fényév. \end{matrix}

4.4. kérdés.

θ ≅ tg θ = \frac{r}{d} = 10^{- 8}

rad.

4.5. kérdés. Egy tipikus optikai hullámhossz:

λ_{0} ≅ 500

nm. Mivel egy távcső szögfelbontása kb.

λ_{0} / D

, innen

D ≳ \frac{d λ_{0}}{r} \approx 50

²KöMaL, 2007/7., 425. oldal.