Kezdőlap


Feladat:	3947. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor
Füzet:	2007/október, 439 - 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: 3947. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel egyforma tömegű testek tökéletesen rugalmas ütközése történik, a sebességeik ,,helyet cserélnek'', vagyis a kezdetben álló korong sebessége $v_{0} = 8$ m/s lesz, a másik korong pedig megáll.
Határozzuk meg a meglökött korong pályájának görbületi sugarát! Ha a korongnak $v$ a pillanatnyi sebessége, $F$ erő hat rá, és ez az erő $α$ szöget zár be a sebességvektorral, akkor a sugár irányú (radiális) mozgásegyenlet szerint $F \cdot sin α = \frac{m v^{2}}{R_{g}}$ , ahonnan a görbületi sugár

\begin{matrix} R_{g} = \frac{m v^{2}}{F sin α} . \end{matrix}

Ha a rugó pillanatnyi hossza

l

, a rugó által kifejtett erő

D (l - l_{0})

, tehát

\begin{matrix} R_{g} = \frac{m v^{2}}{D (l - l_{0}) sin α} . \end{matrix}

Ez a kifejezés akkor a legkisebb, amikor a rugó megnyúlása a legnagyobb, hiszen ekkor (az energiatétel szerint) a sebesség minimális, és a nevezőben szereplő

sin α

a lehető legnagyobb (1-gyel egyenlő), mert a sebesség a tengelytől legtávolabbi pontban merőleges a rugó tengelyére.
A kezdeti állapot és a maximális távolságú állapot között felírhatjuk az energia- és a perdületmegmaradás törvényét:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} D {(l_{1} - l_{0})}^{2} + \frac{1}{2} m v_{1}^{2}, & (1) \\ m v_{0} l_{0} = m v_{1} l_{1} . & (2) \end{matrix}

(Ez utóbbi törvénynél kihasználtuk, hogy a mozgás során a korongra ható eredő erőnek nincs forgatónyomatéka a függőleges tengelyre vonatkoztatva.)
(2)-ből kifejezve a

v_{1}

sebességet és azt (1)-be helyettesítve, továbbá a megadott számadatokat is behelyettesítve a rugó hosszának és a kezdeti hosszúságnak

x = l_{1} / l_{0}

arányára a

2 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 1 = 0

negyedfokú egyenletet kapjuk. Az egyenletnek

x = 1

nyilván gyöke, ez azonban nem a legnagyobb, hanem a legkisebb rugó-megnyúlásnak (a kezdeti állapotnak) felel meg, tehát számunkra érdektelen. Az egyik gyök ismeretében a negyedfokú egyenlet (az

x - 1

gyöktényezővel való osztás után) harmadfokúra redukálható:

\begin{matrix} x^{3} - x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0, \end{matrix}

melynek egyetlen valós gyökét grafikusan, numerikusan, vagy a harmadfokú egyenlet megoldóképlete segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} x = \frac{\sqrt[3]{\frac{40 + \sqrt[]{1350}}{4}} + \sqrt[3]{\frac{40 - \sqrt[]{1350}}{4}} + 1}{3} \approx 1, 54. \end{matrix}

A rugó hosszának ismeretében már a korong sebességét és a pálya görbületi sugarát is ki tudjuk számítani:

v_{1} = \frac{v_{0}}{x} = 5, 2 \frac{m}{s}

és

R_{g} = 0, 39 m