Kezdőlap


Feladat:	3940. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegyi Ádám
Füzet:	2007/október, 438 - 439. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Galvánelemek, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: 3940. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a Kirchhoff-törvényeket a feladatban szereplő áramkörre! Ha az áramerősségeket az ábrán látható ,,hurokáramok'' segítségével adjuk meg, akkor a csomóponti törvények automatikusan teljesülnek, a huroktörvények pedig az alábbi egyenleteket adják:

\begin{matrix} I_{1} R_{1} + (I_{1} - I_{2}) R - U_{1} & = 0, & (1) \\ (I_{2} - I_{1}) R + I_{2} R_{2} + U_{2} & = 0. & (2) \end{matrix}

Ezt a lineáris egyenletrendszert megoldva

\begin{matrix} I_{1} = \frac{U_{1} R - U_{2} R + U_{1} R_{2}}{R_{1} R_{1} + R_{1} R + R_{2} R} és I_{2} = \frac{U_{1} R - U_{2} R - U_{2} R_{1}}{R_{1} R_{1} + R_{1} R + R_{2} R} \end{matrix}

adódik.

R

ellenállású fogyasztón összesen

\begin{matrix} I = I_{1} - I_{2} = \frac{U_{1} R_{2} + U_{2} R_{1}}{R_{1} R_{1} + R_{1} R + R_{2} R} \end{matrix}

áram folyik keresztül, a fogyasztóra jutó teljesítmény tehát

\begin{matrix} P = I^{2} R = \frac{{(U_{1} R_{2} + U_{2} R_{1})}^{2}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2} R + 2 R_{1} R_{2} (R_{1} + R_{2}) + \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R}} . \end{matrix}

Ez a kifejezés (

R

függvényében) akkor maximális, ha a nevező minimális, az pedig (mivel a középső tagja nem függ

R

-től)

\begin{matrix} f (R) = {(R_{1} + R_{2})}^{2} R + \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R} \end{matrix}

legkisebb értékénél teljesül.
Alkalmazzuk

f

-re a számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{1}{2} f = \frac{{(R_{1} + R_{2})}^{2} R + \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R}}{2} \geq \sqrt[]{{(R_{1} + R_{2})}^{2} R \cdot \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R}} = (R_{1} + R_{2}) R_{1} R_{2} . \end{matrix}

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha

{(R_{1} + R_{2})}^{2} R = \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R}

, vagyis ha a fogyasztó ellenállása

\begin{matrix} R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}, \end{matrix}

ami az áramforrások belső ellenállásainak soros eredője.