Kezdőlap


Feladat:	B.3979	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árvay Anna , Bartha Zsolt , Bogár Péter , Dinh Van Anh , Fonyó Dávid , Grósz Dániel , Szalkai Balázs , Szőke Nóra , Szűcs Gergely , Tossenberger Anna , Volosz János
Füzet:	2007/október, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Beírt kör, Egybevágósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: B.3979

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy egy $O_{1}$ középpontú $α$ szögű és egy $O_{2}$ középpontú $β$ szögű elforgatás szorzata (egymás után végrehajtásának eredménye) $α + β$ szögű elforgatás, ha $α + β \neq 360^{\circ}$ . Így az $α$ , $β$ és $γ$ szöggel való elforgatások szorzatának egy $α + β + γ = 180^{\circ}$ -os elforgatás felel meg, azaz egy középpontos tükrözés.
Tekintsük az $A B C$ háromszög beírt körét és az oldalakon lévő érintési pontokat. Az 1. ábrán látható $E_{b}$ pont az $A$ körül $α$ szöggel, negatív irányban elforgatva $E_{c}$ -be megy át. Az $E_{c}$ pont a $B$ pont körül $β$ szöggel, negatív irányban elforgatva $E_{a}$ -ba, hasonlóan az $E_{a}$ pont $C$ körül $γ$ szöggel, negatív irányban elforgatva $E_{b}$ -be kerül.

1. ábra

Tehát a három forgatás szorzatának

E_{b}

fixpontja, vagyis

E_{b}

lesz a tükrözés középpontja.
Ez azt jelenti, hogy az adott

B B_{3}

szakasz felezőpontja

E_{b}

.
Ekkor az

E_{b} O

-ra

E_{b}

-ben állított merőleges lesz a

b

oldal egyenese, a

B

pontból az

O

középpontú,

E_{b} O

sugarú körhöz húzott érintők pedig az

a

és

c

oldalak egyenesét adják. Ezzel megkaptuk a háromszög mindhárom oldalegyenesét, azaz megszerkesztettük a háromszöget (2. ábra). A megoldás, amennyiben létezik, egyértelmű.

2. ábra

Ha az adott

B B_{3}

szakasz felezőpontja egybeesik

O

-val, akkor nincs megoldás.
Húzzuk meg az

E_{b} O

szakaszra

E_{b}

-ben állított merőlegest, és az

E_{b}

-nek az

O

-ra való tükörképében állított merőlegest. Ez a két párhuzamos egyenes a síkot három részre bontja (3. ábra).

3. ábra

B

az 1. síkrészben van, akkor a körhöz húzott érintők előbb metszik a

b

egyenest, mint érintenék a kört, ami azt jelenti, hogy a kör az így kapott háromszögnek nem beírt, hanem hozzáírt köre. Tehát ekkor sincs megoldás.
Ha

B

az 1. és 2. síkrész határán van, akkor egyik érintő egybeesik

b

-vel, tehát nincs megoldás.
Ha

B

a 2. síkrészbe esik, akkor az egyik érintő félegyenes nem fogja metszeni

b

-t, azaz szintén nincs megoldás.
Ha

B

a 2. és 3. síkrész határán van, akkor egyik érintő párhuzamos lesz

b

-vel, ebben az esetben sincs megoldás.
Ha

B

a 3. síkrészbe esik, akkor a

B

-ből a körhöz húzott érintők az érintési pontjaik után metszik a

b

egyenest, azaz ekkor a kör valóban az

A B C

háromszög beírt köre lesz. Tehát pontosan akkor van megoldása a feladatnak, ha

B

a 3. síkrész (belső) pontja.