Kezdőlap


Feladat:	B.3931	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunovszki Péter
Füzet:	2007/október, 412 - 414. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális együtthatós polinomok, Binomiális tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: B.3931

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A binomiális tétel szerint:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) {\sqrt[]{2}}^{i} {\sqrt[]{3}}^{n - i} . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy ha

n

páratlan, akkor az előbbi összeg mindegyik tagja

a_{i} \cdot \sqrt[]{2}

(ha

i

páratlan), vagy

a_{i} \cdot \sqrt[]{3}

(ha

i

páros) alakú, ahol minden

0 \leq i \leq n

-re

a_{i}

egész szám. Fejtsük ki

{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{n}

-t

n = 1

-re és

n = 3

-ra, abban bízva, hogy a kapott egyenletekből ki tudjuk fejezni

\sqrt[]{2}

-t

{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{1}

és

{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{3}

racionális együtthatós kombinációjaként:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{1} & = \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}, \\ {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{3} & = 2 \sqrt[]{2} + 6 \sqrt[]{3} + 9 \sqrt[]{2} + 3 \sqrt[]{3} = 11 \sqrt[]{2} + 9 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A két egyenlet összevetéséből

\begin{matrix} \sqrt[]{2} = \frac{{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{3} - 9 \cdot (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}{2} \end{matrix}

adódik, következésképpen a

\begin{matrix} p (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x \end{matrix}

racionális együtthatós polinom megoldása a feladatnak, hiszen a fentiek szerint

p (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = \sqrt[]{2}

II. megoldás. Mivel

{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{2} = 5 + 2 \sqrt[]{6}

\sqrt[]{6}

előáll

q (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})

alakban, ahol

q

racionális együtthatós polinom, nevezetesen:

q (x) = \frac{x^{2} - 5}{2}

. Ha

x = \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

, akkor

\begin{matrix} x \cdot \frac{x^{2} - 5}{2} = (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) \cdot \sqrt[]{6} = \sqrt[]{12} + \sqrt[]{18} = 2 \sqrt[]{3} + 3 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

x = \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

egyenlőség felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{2} = 2 \sqrt[]{3} + 3 \sqrt[]{2} - 2 \cdot (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = x \cdot \frac{x^{2} - 5}{2} - 2 x = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x . \end{matrix}

Tehát a

\begin{matrix} p (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x \end{matrix}

polinom megfelel a feltételeknek.

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg, melyek azok a racionális együtthatós

p

polinomok, amelyekre

p (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = \sqrt[]{2}

. Némi számolással igazolható, hogy az

1

\sqrt[]{2}

\sqrt[]{3}

\sqrt[]{6}

számok a racionális számtest felett lineárisan függetlenek, azaz, ha

r_{1}

r_{2}

r_{3}

r_{4}

racionális számokra

\begin{matrix} r_{1} \cdot 1 + r_{2} \cdot \sqrt[]{2} + r_{3} \cdot \sqrt[]{3} + r_{4} \cdot \sqrt[]{6} = 0, \end{matrix}

akkor szükségképpen

r_{1} = r_{2} = r_{3} = r_{4} = 0

. Ha

p (x)

legfeljebb harmadfokú, akkor

p (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

, ahol

a

b

c

d

racionális számok. Pontosan akkor teljesül, hogy

\begin{matrix} p (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) - \sqrt[]{2} & = a (11 \sqrt[]{2} + 9 \sqrt[]{3}) + b (5 + 2 \sqrt[]{6}) + c (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) + d - \sqrt[]{2} = \\ = (5 b + d) \cdot 1 + (11 a + c - 1) \sqrt[]{2} + (9 a + c) \sqrt[]{3} + 2 b \sqrt[]{6} = 0, \end{matrix}

5 b + d = 11 a + c - 1 = 9 a + c = 2 b = 0

. Ennek az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van:

a = \frac{1}{2}

b = 0

c = - \frac{9}{2}

d = 0

. Azt kaptuk tehát, hogy a legfeljebb harmadfokú polinomok közül pontosan egy teljesíti a feladat feltételeit:

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x

. Könnyen ellenőrizhető, hogy

\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

gyöke az

x^{4} - 10 x^{2} + 1

polinomnak. Legyen most

p

tetszőleges racionális együtthatós polinom. Osszuk el maradékosan

(x^{4} - 10 x^{2} + 1)

-gyel:

\begin{matrix} p (x) = (x^{4} - 10 x^{2} + 1) s (x) + r (x), \end{matrix}

ahol

r

és

s

racionális együtthatós polinomok,

r

legfeljebb harmadfokú. Az

x^{4} - 10 x^{2} + 1

polinom választása miatt

p (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = r (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})

. Tehát

p

pontosan akkor felel meg a feltételnek, ha

r

is megfelel. Mivel

r

legfeljebb harmadfokú, ez azzal ekvivalens, hogy

r (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x

. Az eddigieket összefoglalva,

p

pontosan akkor elégíti ki a feltételeket, ha

\begin{matrix} p (x) = (x^{4} - 10 x^{2} + 1) s (x) + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x, \end{matrix}

ahol

s

tetszőleges racionális együtthatós polinom.