Kezdőlap


Feladat:	B.3853	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Majoros Csilla
Füzet:	2007/október, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Háromszög nevezetes vonalai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: B.3853

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Húzzunk az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket a háromszög csúcsain keresztül (1. ábra). Feltehetjük, hogy az egyik egyenes illeszkedik a $C$ csúcsra. Ez az egyenes messe az $A B$ oldalt az $R$ pontban (elképzelhető, hogy ez egybeesik valamelyik csúccsal). Ha $R$ az $A B$ oldal felezőpontja, akkor készen vagyunk, egyébként pedig feltehetjük, hogy $A R > B R$ .

1. ábra

Jelölje

P Q

a keresett egyenest, legyen

A P = x

A Q = y

és legyen

y < A R

.
A feltétel szerint:

\begin{matrix} \frac{b c \cdot sin α}{2} = x y \cdot sin α, amiből \frac{b c}{2} = x y . \end{matrix}

A párhuzamos szelők tétele szerint:

\frac{x}{y} = \frac{b}{A R}

, amit

y^{2}

-tel megszorozva:

x y = \frac{b y^{2}}{A R}

. Összevetve az előző eredménnyel:

\begin{matrix} \frac{b c}{2} = \frac{b y^{2}}{A R}, amiből \frac{c}{2} = \frac{y^{2}}{A R} . \end{matrix}

Tehát

y

mértani közepe az

A R

és

\frac{c}{2}

szakaszoknak:

y = \sqrt[]{A R \cdot \frac{c}{2}}

, vagyis a magasságtétel segítségével megszerkeszthető.
A 2. ábra szerint megszerkesztjük

y

-t, majd felmérve az

A

pontból, a kapott

Q

pontban párhuzamost húzunk az adott egyenessel.
A szerkesztés egyértelműen elvégezhető, pontosan egy megoldás van.

2. ábra