Kezdőlap


Feladat:	B.3965	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Réka
Füzet:	2007/november, 482 - 483. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pont körre vonatkozó hatványa, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: B.3965

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az $A B C$ háromszög $B$ -ből, illetve $C$ -ből induló magasságának talppontja $T_{B}$ , illetve $T_{C}$ . Mivel az $A B C$ háromszög hegyesszögű, $T_{B}$ és $T_{C}$ az $A C$ , illetve $A B$ szakasz belső pontja.

Thalész tétele miatt a

C N A

és

B M A

szögek derékszögek, így az

A N C

és

A M B

derékszögű háromszögek átfogójához tartozó magasságvonalai rendre

N T_{B}

, illetve

M T_{C}

. A befogótétel alapján ezért

A N^{2} = A T_{B} \cdot A C

és

A M^{2} = A T_{C} \cdot A B

.
A

C T_{B} B ∢

és

C T_{c} B ∢

derékszög, Thalész tételének megfordítása miatt

T_{B}

és

T_{C}

rajta vannak a

B C

átmérőjű

k

körön. Az

A

-ból

k

-hoz húzott szelőszakaszok szorzata állandó, ezért

A T_{B} \cdot A C = A T_{C} \cdot A B

. Így

A N^{2} = A M^{2}

, amiből

A N = A M

, a bizonyítandó állítás.