Kezdőlap


Feladat:	C.894	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hoór Dorottya
Füzet:	2007/november, 482. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/március: C.894

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

Feltehetjük, hogy a levesestál (vagyis félgömb) főköre van felül. A leves térfogata egy gömbszelet térfogatával egyenlő. Mivel a félgömb magassága egyenlő a gömb sugarával, a szelet magassága

m = \frac{r}{2}

. A teljes gömb térfogata:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{4 π}{3} r^{3} . \end{matrix}

Ha a félgömb térfogata 8 liter, akkor a gömb térfogata 16 liter, tehát:

\frac{4 π}{3} r^{3} = 16

, amiből

π r^{3} = 12

.
Az

m

magasságú gömbszelet térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = \frac{π}{3} m^{2} (3 r - m) . \end{matrix}

A képletbe helyettesítve az

m = \frac{r}{2}

-t:

\begin{matrix} V_{2} = \frac{π}{3} {(\frac{r}{2})}^{2} (3 r - \frac{r}{2}) = \frac{5 π r^{3}}{24} . \end{matrix}

π r^{3}

helyére helyettesítve a 12-t:

V_{2} = \frac{12 \cdot 5}{24} = 2, 5

.
Tehát 2,5 liter leves tölti ki az tálat fele magasságáig.