Kezdőlap


Feladat:	C.888	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mocsár Szabolcs
Füzet:	2007/november, 481. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Hasábok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: C.888

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a négyzetes oszlop alapélét $a$ , a magasságát $b$ , ekkor a felszíne $A = 2 a^{2} + 4 a b$ , a térfogata pedig $V = a^{2} b$ . A feladat feltétele így $a^{2} b = 2 a^{2} + 4 a b$ . Oszthatunk $a$ -val és rendezve:

\begin{matrix} a b & = 2 a + 4 b, \\ 2 a & = a b - 4 b = (a - 4) b . \end{matrix}

a = 4

nem ad megoldást, így:

\begin{matrix} b = \frac{2 a}{a - 4} = \frac{2 (a - 4) + 8}{a - 4} = 2 + \frac{8}{a - 4} . \end{matrix}

A feladat alapján

a

és

b

csak pozitív egész szám lehet. A

b

csak akkor egész szám, ha

\frac{8}{a - 4}

is egész. Vagyis az

a - 4

a 8 (pozitív) osztói közül kerülhet ki. Ezeket az eseteket végignézve a feladat megoldásai:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & = 12, & b_{1} & = 3; \\ a_{2} & = 8, & b_{2} & = 4; \\ a_{3} & = 6, & b_{3} & = 6; \\ a_{4} & = 5, & b_{4} & = 10. \end{matrix} \end{matrix}