A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az szakasz hossza adott, így az ívnek azt a pontját keressük, amelyre maximális. Legyen az háromszögben a szokásos betűzés szerint az csúcsnál , a csúcsnál pedig szög. A háromszög harmadik szöge a kerületi szögek tétele szerint állandó, és így az összeg sem függ a pont helyzetétől (1. ábra).
1. ábra A háromszög oldalai a szinusztétel felhasználásával , illetve , ahol a háromszög körülírt körének a sugara. Ekkor az ismert összefüggések szerint | | Az alapon fekvő két szög összege állandó, így ennek fele is az. A fenti, most pozitív tényezőjű szorzat akkor maximális, ha egyetlen változó tényezője, a lehető legnagyobb. , és mivel és egy háromszög szögei, most pontosan akkor teljesül az egyenlőség, ha . Az háromszög kerülete tehát pontosan akkor maximális, ha az ív felezőpontja, a háromszög egyenlő szárú.
Megjegyzések. 1. Ilyen, vagy hasonló bizonyítást közölt a helyes megoldást küldők többsége. Jellegzetes hibalehetőséget hordozott a megoldásnak az a változata, amely a fenti vagy ahhoz hasonló trigonometrikus kifejezést egyetlen változó, mondjuk az függvényeként a derivált segítségével vizsgálta. Ennek a kifogástalan végigvitele az elemi útnál hosszadalmasabb, ugyanis túl azon, hogy a derivált nulla helyén ellenőrizni kell, hogy valóban lokális maximumot kaptunk-e, az -ra adódó intervallum határait is meg kell vizsgálnunk, hiszen ha ezen pontok valamelyikében van a szélsőérték, azt a derivált nem mutatja ki. 2. Érdemes felfigyelni arra, hogy az háromszög területe is a talált helyzetében maximális, ez azonban sokkal könnyebben igazolható.
II. megoldás. Jelölje a háromszög -nél lévő szögét , amely állandó az ív minden pontjára. Mérjük föl a szakaszt az félegyenes -n túli meghosszabbítására. Az így kapott pontra , tehát a -nek azt a helyzetét keressük, amelyre az távolság maximális (2. ábra).
2. ábra A háromszög egyenlő szárú, ezért , a pontok az szakasz szögű látókörén vannak. Ennek a látókörnek a középpontja láthatóan az ív felezőpontja, az szakasz pedig ennek a körnek egy húrja. Mivel egy adott körben a leghosszabb húr az átmérő, azért .
III. megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett pont ‐ a várakozásnak megfelelően ‐ az ív felezőpontja. Legyen az ívnek az -től különböző tetszőleges pontja. A szimmetria miatt föltehető, hogy a pont az ív belsejében van. Ismeretes, hogy a egyenes felezi az háromszög -beli külső szögét (3. ábra). Ebből következik, hogy a pontnak az egyenesre vonatkozó tükörképe rajta van az félegyenesen. Az háromszögben a háromszög egyenlőtlenség szerint . A tükrözés miatt és , így .
3. ábra Ez az egyenlőtlenség az ív minden -től különböző pontjára teljesül, az háromszög kerülete tehát akkor maximális, ha az ív felezőpontja.
IV. megoldás. A kör kiegészítő ívének felezőpontját felvéve tekintsük az húrnégyszöget (4. ábra). A húrnégyszögekre vonatkozó Ptolemaiosz-tételt felírva A jobb oldalon és közös hossza, a bal oldalon pedig állandó. A maximalizálandó összeg tehát a húrral arányos, és így akkor maximális, ha ez a húr a lehető legnagyobb az adott körben. Ez akkor teljesül, ha a húr átmérő, azaz az ív felezőpontja.
4. ábra |