Kezdőlap


Feladat:	C.834	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megellai Emese
Füzet:	2006/szeptember, 338. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometrikus függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: C.834

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Alakítsuk át a nevezőket az ismert szögösszegezési képletek felhasználásával:

\begin{matrix} sin 2 x & = 2 sin x cos x, \\ sin 4 x & = sin (2 x + 2 x) = 4 sin x cos x (cos^{2} x - sin^{2} x) = 4 sin x cos x (2 cos^{2} x - 1) . \end{matrix}

Az értelmezési tartományból ki kell zárnunk azokat az értékeket, ahol a nevező nulla:

sin x = 0

cos x = 0

, illetve

cos x = \pm \sqrt[]{\frac{1}{2}}

.
Hozzunk közös nevezőre. A közös nevező:

4 sin x cos x (2 cos^{2} x - 1)

. Ezzel szorozva a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 4 cos x (2 cos^{2} x - 1) - 2 (2 cos^{2} x - 1) = 2. \end{matrix}

Rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 cos^{3} x - cos^{2} x - cos x = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} cos x (2 cos^{2} x - cos x - 1) = 0. \end{matrix}

cos x = 0

lehetőséget kizártuk. A

2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0

egyenletből

cos x = 1

nem lehetséges, mert akkor

sin x = 0

lenne, de ezt is kizártuk. A másik gyök

cos x = - \frac{1}{2}

, és innen

\begin{matrix} x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 n π, ahol n \in Z . \end{matrix}