Kezdőlap


Feladat:	C.832	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Plesz Mónika
Füzet:	2006/szeptember, 337 - 338. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Osztópontok koordinátái, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: C.832

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ábrázoljuk az adott pontokat a derékszögű koordináta-rendszerben. Az $O A$ egyenesnek az $x$ tengely pozitív felével bezárt szöge legyen $α$ , az $O B$ egyenesnek az $x$ tengellyel bezárt szöge $β$ és a $C O A ∢ = γ$ . A $γ$ szöget a $C O A$ háromszögből számíthatjuk ki a koszinusz-tétel felhasználásával:

\begin{matrix} {\bar{C A}}^{2} = {\bar{O A}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} - 2 \bar{O A} \bar{O C} cos γ . \end{matrix}

\bar{C A} = 10

\bar{O A} = \sqrt[]{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt[]{5}

\bar{O C} = \sqrt[]{11^{2} + 2^{2}} = \sqrt[]{125}

, vagyis

\begin{matrix} 100 = 5 + 125 - 2 \sqrt[]{5} \sqrt[]{125} cos γ, ahonnan \\ cos γ = \frac{3}{5} (és γ \approx 53, 13^{\circ}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 1 + tg^{2} γ = \frac{1}{cos^{2} γ} = \frac{25}{9}, tg γ = \frac{4}{3} . \end{matrix}

B O A ∢ = β - α

, és

tg α = \frac{1}{2}

tg β = \frac{4}{3}

. Az ismert

tg (β - α) = \frac{tg β - tg α}{1 + tg β tg α}

összefüggés alkalmazásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} tg (β - α) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

(innen

B O A ∢ = arctg \frac{1}{2} \approx 26, 57^{\circ}

) és

\begin{matrix} tg (2 (β - α)) = \frac{2 tg (β - α)}{1 - tg^{2} (β - α)} = \frac{4}{3} = tg γ, tehát γ = 2 (β - α) . \end{matrix}

II. megoldás. Tekintsük a

2 B = B' (6; 8)

és az

5 A = A' (10; 5)

koordinátájú pontokat. Nyilván

B'

O B

A'

O A

félegyenesen vannak. Azt állítjuk, hogy az

A'

B'

C

pontok egy egyenesen sorakoznak. Állításunk következik abból, ha megmutatjuk, hogy

B'

A' C

szakasz felezőpontja. Valóban

\frac{2 + 10}{2} = 6

, és

\frac{11 + 5}{2} = 8

Számítsuk ki az

O C

és

O A'

szakaszok hosszát:

\bar{O C} = \sqrt[]{2^{2} + 11^{2}} = \sqrt[]{125}

\bar{O A'} = \sqrt[]{10^{2} + 5^{2}} = \sqrt[]{125}

. Az

O A' C

háromszög tehát egyenlő szárú,

O B'

e háromszög

O

csúcsát az alap felezőpontjával összekötő szakasz. Az egyenlő szárú háromszög alaptulajdonságaiból következik, hogy

O B'

felezi a

C O A'

szöget, s ezt akartuk bizonyítani.