Kezdőlap


Feladat:	C.831	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Suchetka Mária , Újváry Flóra
Füzet:	2006/szeptember, 336 - 337. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Természetes számok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: C.831

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A háromjegyű, csak páratlan számjegyeket tartalmazó számok párosíthatók a következőképp:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1. & 2. \\ 111 & 999 \\ 113 & 997 \\ 115 & 995 \\ ⋮ & ⋮ \\ 549 & 561 \\ 551 & 559 \\ 553 & 557 \\ 555 & ‐ \end{matrix} \end{matrix}

Az 1. és 2. oszlopban álló számok összege páronként 1110, kivéve az 555-öt, amelynek nincs párja. A feladatnak megfelelő számok száma

5^{3} = 125

, ezért

\frac{5^{3} - 1}{2} = \frac{124}{2} = 62

olyan számpár van, amely az 1110-es összeget adja. A páratlan számjegyekből álló háromjegyű számok összege tehát:

62 \cdot 1110 + 555 = 69 375

II. megoldás. Ötféle páratlan számjegy van: 1, 3, 5, 7, 9. Ezekből képezzük a háromjegyű számokat. A számok mindhárom helyiértékén páratlan számjegy lesz, mégpedig mindenhol ötféle páratlan számjegy.
Egy számjegy egy adott helyiértéken 25-ször szerepel, mert a másik két helyiértéken

5 \cdot 5 = 25

-féleképpen írhatjuk be az öt számjegyet.
Ha pedig minden számjegy minden helyiértéken 25-ször szerepel, akkor az összeg:

\begin{matrix} 25 \cdot (100 + 10 + 1) + 25 \cdot (300 + 30 + 3) + 25 \cdot (500 + 50 + 5) + \\ + & 25 \cdot (700 + 70 + 7) + 25 \cdot (900 + 90 + 9) = \\ = & 25 \cdot (111 + 333 + 555 + 777 + 999) = 69 375. \end{matrix}