A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ha létezik ilyen sorrend, akkor szükségképpen (különben valamelyik szorzat egyenlő lenne a rákövetkezővel) és , mert ellenkező esetben egynél több szorzat is osztható lenne -nel, azaz nulla maradékot adna -nel osztva. Először megmutatjuk, hogy nem lehet 4-nél nagyobb összetett szám. Tételezzük fel ugyanis, hogy , ahol . Ekkor miatt , így vagy folytán is nulla maradékot ad -nel osztva, hiszen osztható -vel. Az tehát csak 4 vagy prímszám lehet. Az -re egy alkalmas sorrend 1, 3, 2, 4. Megmutatjuk, hogy akkor is létezik megfelelő sorrend, ha értéke prím. Legyen ekkor ‐ ahogy szükséges ‐ , , az számokat pedig úgy választjuk közül, hogy -nek az -nel való osztási maradéka legyen. Ez a következőképpen lehetséges: adott esetén szorozzuk meg az számok mindegyikét -gyel; mivel prím, a kapott szorzatok egyike sem osztható -nel, és mind különböző maradékot adnak. Ellenkező esetben, ha pl. és ugyanazt a maradékot adná, akkor a különbségük, osztható lenne -nel; ez lehetetlen, mivel sem , sem nem lehet -nel osztható. Így viszont az különböző nemnulla maradék között minden nemnulla maradék megtalálható, ezért is. Abban is biztosak lehetünk, hogy az eképpen kapott szám nem az , hiszen akkor lenne, amelynek a maradéka nem . Ezután igazoljuk, hogy a különböző sorszámokra kapott értékek mind különbözőek. Ha ugyanis valamilyen -re () adódna, akkor osztási maradéka , osztási maradéka pedig ; így osztási maradéka lenne, azaz osztható -nel, ami lehetetlen. Végül megmutatjuk, hogy az számok ebben a sorrendben (előttük -gyel, utánuk legvégül pedig -nel) teljesítik a feladat követelményeit. Az maradéka 1, maradéka maradéka, azaz , maradéka maradéka, azaz 3 stb.: ha már tudjuk, hogy maradéka (ahol ), akkor maradéka maradéka, azaz . Végül maradéka nyilván . |