Kezdőlap


Feladat:	B.3858	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2006/május, 293. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: B.3858

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számozzuk meg a lámpás kereszteződéseket a haladási irány szerint 1-től 8-ig. Ha nincs két egymást követő piros jelzés, akkor az utunk során kapott tilos jelek száma legfeljebb 4 lehet. Legyen $0 \leq p \leq 4$ , és jelölje $a_{p}$ azon lehetőségek számát, amikor éppen $p$ a piros jelzések száma, és semelyik kettő nem szomszédos közülük. Összesen $p$ megadott helyen a piros jelek együttes bekövetkezésének a valószínűsége $0, 4^{p}$ , a többi $(8 - p)$ helyen pedig a nem-piros jelek együttes előfordulásának valószínűsége $0, 6^{8 - p}$ . Így a feladat kérdésére adandó válasz:

\begin{matrix} 0, 6^{8} a_{0} + 0, 6^{7} \cdot 0, 4^{1} a_{1} + 0, 6^{6} \cdot 0, 4^{2} a_{2} + 0, 6^{5} \cdot 0, 4^{3} a_{3} + 0, 6^{4} \cdot 0, 4^{4} a_{4}; \end{matrix}

ehhez már csak az

a_{i}

értékeket kell meghatároznunk. A feladatnak ezt a részét oldjuk meg általánosan. Legyen

n

az 1-nél nagyobb egész szám,

p

pedig az

\frac{n}{2}

-nél nem nagyobb természetes szám. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} 1 \leq k_{1} < k_{2} < ... < k_{p} \leq n, \end{matrix}

és a

k_{i}

számok közül semelyik kettő nem szomszédos, azaz

k_{i + 1} - k_{i} \geq 2

. Ekkor

\begin{matrix} 1 \leq k_{1} < k_{2} - 1 < k_{3} - 2 < ... < k_{p} - (p - 1) \leq n - p + 1, \end{matrix}

és megfordítva: ha

1 \leq t_{1} < t_{2} < ... < t_{p} \leq n - p + 1

, akkor a

k_{1} = t_{1}

k_{2} = t_{2} + 1

k_{3} = t_{3} + 2

...,

k_{p} = t_{p} + p - 1

számok között nincsenek szomszédosak. Tehát

a_{p}

1,2, ..., n - p + 1

számokból kiválasztható

p

-esek száma,

(\binom{n - p + 1}{p})

. A keresett valószínűség ennek alapján

\begin{matrix} 0, 6^{8} + 8 \cdot 0, 6^{7} \cdot 0, 4^{1} + 21 \cdot 0, 6^{6} \cdot 0, 4^{2} + 20 \cdot 0, 6^{5} \cdot 0, 4^{3} + 5 \cdot 0, 6^{4} \cdot 0, 4^{4} \approx 0, 38. \end{matrix}