Kezdőlap


Feladat:	B.3856	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Gábor , Szabó Tamás
Füzet:	2007/február, 93 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: B.3856

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A törtek a kezdeti feltétel második része miatt mindig értelmezve vannak. Hozzunk közös nevezőre mindkét oldalon:

\begin{matrix} a^{7} \cdot \frac{{(1 + a)}^{2} - {(1 - a)}^{2}}{{(1 - a)}^{2} {(1 + a)}^{2}} = b^{7} \cdot \frac{{(1 + b)}^{2} - {(1 - b)}^{2}}{{(1 - b)}^{2} {(1 + b)}^{2}} . \end{matrix}

A számlálókban a műveletek elvégzése után igen egyszerű kifejezések adódnak (a nevezőkben is végezzük el a szorzást):

\begin{matrix} a^{7} \cdot \frac{4 a}{{(1 - a^{2})}^{2}} = b^{7} \cdot \frac{4 b}{{(1 - b^{2})}^{2}} . \end{matrix}

Osszunk 4-gyel és szorozzunk a nevezőkkel:

\begin{matrix} a^{8} \cdot {(1 - b^{2})}^{2} = b^{8} \cdot {(1 - a^{2})}^{2} . \end{matrix}

Mindkét oldalon teljes négyzetek szerepelnek:

\begin{matrix} {(a^{4} b^{2} - a^{4})}^{2} = {(b^{4} a^{2} - b^{4})}^{2} . \end{matrix}

A feltételként szereplő azonosságot alkalmazva a zárójeleken belül:

\begin{matrix} {[a^{2} (a^{2} + b^{2}) - a^{4}]}^{2} = {[b^{2} (b^{2} + a^{2}) - b^{4}]}^{2} . \end{matrix}

A zárójeleken belül a műveleteket elvégezve kapjuk, hogy:

{(a^{2} b^{2})}^{2} = {(b^{2} a^{2})}^{2}

, ami nyilvánvalóan igaz, és mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, az eredeti állítás is igaz.

II. megoldás. A feladat feltétele szerint

a^{2} + b^{2} = a^{2} b^{2}

. Ebből

b^{2}

-et kifejezve:

\begin{matrix} b^{2} = \frac{a^{2}}{a^{2} - 1} . \end{matrix}

(1)

(

a^{2} - 1

)-gyel azért oszthatunk, mert

| a | \neq 1

. Ugyanígy

\begin{matrix} a^{2} = \frac{b^{2}}{b^{2} - 1} . \end{matrix}

(2)

Alakítsuk át a bizonyítandó egyenlőség mindkét oldalát:

\begin{matrix} \frac{a^{7}}{{(1 - a)}^{2}} - \frac{a^{7}}{{(1 + a)}^{2}} & = \frac{b^{7}}{{(1 - b)}^{2}} - \frac{b^{7}}{{(1 + b)}^{2}}, \\ \frac{a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} - a^{9} + 2 a^{8} - a^{7}}{{((1 - a) (1 + a))}^{2}} & = \frac{b^{9} + 2 b^{8} + b^{7} - b^{9} + 2 b^{8} - b^{7}}{{((1 - b) (1 + b))}^{2}}, \\ \frac{4 a^{8}}{{(a^{2} - 1)}^{2}} & = \frac{4 b^{8}}{{(b^{2} - 1)}^{2}}, \\ a^{4} \cdot {(\frac{a^{2}}{a^{2} - 1})}^{2} & = b^{4} \cdot {(\frac{b^{2}}{b^{2} - 1})}^{2} . \end{matrix}

Helyettesítsük be a zárójelben szereplő kifejezések helyére az (1)-ben és (2)-ben kapott értékeket:

\begin{matrix} a^{4} \cdot {(b^{2})}^{2} & = b^{4} \cdot {(a^{2})}^{2}, \\ a^{4} b^{4} & = a^{4} b^{4}, \end{matrix}

ami azonosság. Ezzel az állítást igazoltuk.

Megjegyzések. 1. Kicsit módosul a megoldás vége, ha

a^{2} - 1

, illetve

b^{2} - 1

helyére írjuk be a feltételből kapott

\frac{a^{2}}{b^{2}}

, illetve

\frac{b^{2}}{a^{2}}

kifejezéseket.
2. Sokan bármiféle megjegyzés nélkül gyököt vontak és

\frac{a^{4}}{a^{2} - 1} = \frac{b^{4}}{b^{2} - 1}

-gyel dolgoztak, és kihozták például, hogy

a^{2} b^{2} = a^{2} + b^{2}

‐ ami a feltétel. Ebből ugyan következik a kiinduló állítás, de nem ekvivalens azzal (mint ahogy többen írták). (Ahogy pl.

a^{2} = b^{2}

-ből sem következik

a = b

, de

a = b

-ből következik

a^{2} = b^{2}