A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyenek a háromszög oldalai , a megfelelő súlyvonalak pedig , , . A súlyvonalak négyzetére vonatkozó jól ismert összefüggés szerint | | (ezek könnyen levezethetők abból, hogy bármely paralelogramma oldalainak négyzetösszege megegyezik átlóinak négyzetösszegével, ld. 1. ábra). Látható, hogy . Mivel két háromszög pontosan akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik négyzeteinek aránya megegyezik, azért a követelmény teljesülésének szükséges és elégséges feltétele | | (1) |
1. ábra Ezekből az egyenletekből rendezéssel kapjuk, hogy a | | egyenlőségeknek egyszerre kell teljesülniük. A két egyenletet összeadva, rendezés után a | | egyenlethez jutunk. Ha , akkor , amit az első egyenletbe visszaírva kapjuk, hogy , azaz ebben az esetben a háromszög szabályos. Ha , vagyis (ami mellesleg szabályos háromszög esetén is igaz), akkor mindkét (1)-beli egyenlőség fennáll, mert | |
Tehát egy háromszög súlyvonalaiból pontosan akkor szerkeszthető hozzá hasonló háromszög, ha a háromszög valamely két oldalának négyzetösszege megegyezik a harmadik oldal négyzetének kétszeresével. Ez a feltétel a szabályos háromszögön kívül teljesül például abban a derékszögű háromszögben, amelynek oldalai 2, és (súlyvonalai pedig , és 3).
2. ábra |