Kezdőlap


Feladat:	117. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baligovics G. , Elek T. , Fischer Gy. , Fischer Rózsi , Fürst L. , Griffel Gyula , Hajdu Gy. , Hajós Gy. , Klein Eszter , Lukács E. , Policsek L. , Ság M. , Weisz Lili , Weisz S. , Ziegler I.
Füzet:	1927/május, 290 - 291. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fizika, Kinematika, Kényszermozgások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/március: 117. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy $a > 0$ . Így sem $x$ , sem $y$ nem lehet negatív.
Ha $t = k π (k = 0, 1, 2 ...)$ , akkor $x = a$ , $y = 0$ .
Ha $t = (2 k + 1) \frac{π}{2} (k = 0, 1, 2 ...)$ , akkor $x = 0$ , $y = a$ .
Eszerint a pont a síknak első negyedrészében írja le mozgását, mégpedig

\begin{matrix} x + y = a (cos^{2} t + sin^{2} t) = a \end{matrix}

egyenesen, a koordinátatengelyek pozitív része által határolt vonaldarabon, beleszámítva a koord. tengelyeken fekvő pontokat is.
A mozgó pont sebességének összetevői:

\begin{matrix} v_{x} = \frac{d x}{d t} = - 2 a cos t sin t = - a sin 2 t; v_{y} = \frac{d y}{d t} = a sin 2 t \end{matrix}

t = k π (k = 0, 1, 2 ...)

időpontokban

v_{x} = 0

v_{y} = 0

; tehát

x = a

y = 0

forduló pont.

t = (2 k + 1) \frac{π}{2} (k = 0, 1, 2 ...)

időpontokban

v_{x} = 0

v_{y} = 0

; tehát

x = 0

y = a

forduló pont.

v_{x}

és

v_{y}

szélső értékeiket felveszik, ha

\begin{matrix} sin 2 t = \pm 1, azaz ha t = (2 k + 1) \frac{π}{4} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} cos (2 k + 1) \frac{π}{4} = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2} és sin (2 k + 1) \frac{π}{4} = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2} \\ x = \frac{a}{2} és y = \frac{a}{2} \end{matrix}

pontban, azaz a pálya középpontjában van a sebességnek legnagyobb absolut értéke.
A mozgó pont sebessége

\begin{matrix} v = \sqrt[]{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = a \sqrt[]{2} \cdot sin 2 t . \end{matrix}

A mozgó pont gyorsulásának összetevői:

\begin{matrix} γ_{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - 2 a cos 2 t; γ_{y} = \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = 2 a cos 2 t . \end{matrix}

Ezeknek szélső értékei

t = k \frac{π}{2}

időpontokban állnak elő, ahol

k = 0, 1, 2, 3 ...

, tehát a fordulópontokban.

\begin{matrix} γ_{x} = γ_{y} = 0, ha t = (2 k + 1) \frac{π}{4} azaz mindig a pálya középpontjában. \end{matrix}

A mozgó pont gyorsulása:

\begin{matrix} γ = {(γ_{x}^{2} + γ_{y}^{2})}^{\frac{1}{2}} = 2 a \sqrt[]{2} cos 2 t . \end{matrix}

Griffel Gyula (Szent István rg. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. Amint látjuk, a mozgás harmonikus mozgás, melynek periódusa:

2 π

. A sebesség és gyorsulás irányát az összetevők határozzák meg. Az út egyenletére nincs szükségünk a mozgás leírásánál, ha ismerjük a mozgó pont koordinátáit, mint az idő függvényét.