Kezdőlap


Feladat:	B.3848	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tossenberger Anna
Füzet:	2006/április, 219 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög területe, Konvex sokszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: B.3848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy ha az $N$ sokszög a belsejében tartalmazza a $K$ konvex sokszöget, akkor $N$ kerülete nagyobb, mint $K$ kerülete. Legyenek $K$ oldalai $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ . Mivel $K$ konvex, az oldalegyenesei által meghatározott két-két zárt félsík egyike tartalmazza. Mivel $K$ az $N$ belsejében van, az $a_{1}$ oldal egyenese $N$ -ből egy olyan $N_{1}$ sokszöget vág le, amelynek a kerülete kisebb, mint $N$ kerülete, és $N_{1}$ tartalmazza $K$ -t (1. ábra). Ezután az $a_{2}$ oldal egyenesével vághatunk le $N_{1}$ -ből egy olyan $N_{2}$ sokszöget, amely szintén tartalmazza $K$ -t, kerülete pedig kisebb, mint $N_{1}$ kerülete. Ezt az eljárást az $a_{3}, ..., a_{n}$ oldalakkal folytatva kapjuk az $N_{3}, ..., N_{n} = K$ sokszögeket, melyeknél $N_{i}$ kerülete kisebb, mint $N_{i - 1}$ kerülete $(i = 1,2, ..., n)$ . Így $N$ kerülete nagyobb, mint $N_{n} = K$ kerülete. (Gondolatmenetünkben lényeges volt, hogy $K$ konvex, egy konkáv sokszög kerülete lehet nagyobb, mint az őt tartalmazó sokszög kerülete, lásd a 2. ábrát.)

1. ábra

2. ábra

Esetünkben tehát

K

kerülete kisebb, mint az 1 méter oldalú négyzet kerülete, azaz 400 cm. Legyenek

K

oldalai valamilyen körüljárás szerinti sorrendben

b_{1}, b_{2}, ..., b_{100} .

Tekintsük a csúcsok által meghatározott háromszögek közül azokat, melyeknek két oldala

K

két szomszédos oldala. Ilyen háromszögből 100 darab van, a szomszédos oldalak szerint rendezve őket két-két oldaluk rendre

(b_{1}; b_{2}), (b_{2}; b_{3}), ..., (b_{100}; b_{1})

. Ezeknek az oldalpároknak az összhossza éppen

K

kerületének kétszerese, azaz kisebb, mint 800 cm. Ez viszont azt jelenti, hogy a 100 oldalpár közt van legalább egy, melyben a két oldal hosszának összege kisebb, mint 8 cm. Legyen

(b_{i}, b_{i + 1})

egy ilyen oldalpár. Az általuk meghatározott háromszög területe legfeljebb

\frac{b_{i} b_{i + 1}}{2}

, hiszen ezt a mennyiséget még a két oldal által bezárt szög szinuszával is meg kell szorozni, hogy a területet megkapjuk. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség alapján:

\begin{matrix} {(\frac{8}{2})}^{2} > {(\frac{b_{i} + b_{i + 1}}{2})}^{2} \geq b_{i} b_{i + 1}, \end{matrix}

vagyis a háromszög területe kisebb, mint

\frac{4^{2}}{2} = 8 cm^{2}

, ami éppen a bizonyítandó állítás.

Megjegyzés. A feladat állításában szereplő

8 cm^{2}

-es becslésnél jóval erősebb felső korlát is adható a legkisebb háromszög területére. Az A. 380. feladat megoldásából (lásd KöMaL 2006/1., 27. oldal) következik, hogy ez a terület legfeljebb 0,51 cm

^{2}