Kezdőlap


Feladat:	B.3847	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Majoros Csilla , Molnár Boglárka
Füzet:	2006/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: B.3847

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje (az egyenesszögnél szükségképpen kisebb) szög szárait $a$ és $b$ , és tükrözzük az $a$ egyenesét az adott $P$ pontra; a kapott $a'$ egyenes messe a $b$ -t $B$ -ben. A $B$ pont $P$ -re való tükörképe (amely nyilván az $a$ szárra esik) legyen $A$ . Az $A B$ az egyetlen olyan, $P$ -n átmenő egyenes, amelynek a szögtartományba eső szakaszát $P$ felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból.

1. ábra

Tekintsünk egy

P

-n átmenő tetszőleges (az

A B

-től különböző) egyenest, ami az

a

b

szögszárakat rendre az

A'

, illetve

B'

pontokban metszi. Feltehető, hogy például

B

elválasztja a szög csúcsát

B'

-től, és ekkor

A'

elválasztja a szög csúcsát

A

-tól (ld. 1. ábra). Ekkor az

a

egyenes

P

-re való tükörképe a

P B'

szakaszt annak egy belső

B''

pontjában metszi. A tükrözések miatt a

P B B''

háromszög éppen a

P A A'

háromszög

P

-re való tükörképe. Ebből következik, hogy a

P B B'

háromszög területe nagyobb a

P A A'

háromszög területénél, hiszen valódi módon tartalmazza az azzal egybevágó

P B B''

háromszöget. Ez egyben azt is mutatja, hogy az

A' B'

egyenes nagyobb területű háromszöget vág le a szögtartományból, mint az

A B

Megjegyzés. A fenti megoldásban rejtve marad, hogyan lehet rátalálni a megfelelő egyenesre. A következő gondolatmenetben erre kapunk választ egy egyszerű számolás eredményeként.

II. megoldás. Húzzunk párhuzamost az adott

P

ponton keresztül a szögszárakkal; e két párhuzamos és a szög szárai egy

c

d

oldalú paralelogrammát határoznak meg (ld. 2. ábra). Minden, a

P

ponton keresztül húzott egyenes, amely a szögszárakat metszi, e paralelogrammán kívül halad, és a szögtartományból olyan háromszöget vág le, amelynek területe a paralelogramma és az ábrán látható két háromszög területének az összege. A paralelogramma és annak területe az egyenes választásától független, így csak a két háromszög területének összege vizsgálandó. E területösszeg kétszerese (a 2. ábra további jelöléseit is használva):

2 T = (x d + y c) sin γ

. A két háromszög hasonló, mivel a párhuzamosságok miatt megfelelő szögeik egyenlőek. Ezért

\frac{x}{d} = \frac{c}{y}

, azaz

x y = c d

. Így a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint

2 T = (x d + y c) sin γ \geq 2 \sqrt[]{x d \cdot y c} sin γ = 2 c d sin γ

, ami

x

y

értékétől független állandó. A

2 T

pontosan akkor veszi fel ezt a minimális értéket, ha a becslésben egyenlőség áll, azaz ha

x d = y c

. Ez éppen azt jelenti, hogy a két hasonló háromszög területe egyenlő, vagyis e két háromszög egybevágó, azaz egy-egy megfelelő oldaluk egyenlő ‐ például az a kettő, amelyeknek közös végpontja a

P

. A minimális helyzetben tehát

P

felezi az egyenesnek a szögtartományba eső szakaszát.

2. ábra