A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje (az egyenesszögnél szükségképpen kisebb) szög szárait és , és tükrözzük az egyenesét az adott pontra; a kapott egyenes messe a -t -ben. A pont -re való tükörképe (amely nyilván az szárra esik) legyen . Az az egyetlen olyan, -n átmenő egyenes, amelynek a szögtartományba eső szakaszát felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból.
1. ábra Tekintsünk egy -n átmenő tetszőleges (az -től különböző) egyenest, ami az , szögszárakat rendre az , illetve pontokban metszi. Feltehető, hogy például elválasztja a szög csúcsát -től, és ekkor elválasztja a szög csúcsát -tól (ld. 1. ábra). Ekkor az egyenes -re való tükörképe a szakaszt annak egy belső pontjában metszi. A tükrözések miatt a háromszög éppen a háromszög -re való tükörképe. Ebből következik, hogy a háromszög területe nagyobb a háromszög területénél, hiszen valódi módon tartalmazza az azzal egybevágó háromszöget. Ez egyben azt is mutatja, hogy az egyenes nagyobb területű háromszöget vág le a szögtartományból, mint az .
Megjegyzés. A fenti megoldásban rejtve marad, hogyan lehet rátalálni a megfelelő egyenesre. A következő gondolatmenetben erre kapunk választ egy egyszerű számolás eredményeként.
II. megoldás. Húzzunk párhuzamost az adott ponton keresztül a szögszárakkal; e két párhuzamos és a szög szárai egy , oldalú paralelogrammát határoznak meg (ld. 2. ábra). Minden, a ponton keresztül húzott egyenes, amely a szögszárakat metszi, e paralelogrammán kívül halad, és a szögtartományból olyan háromszöget vág le, amelynek területe a paralelogramma és az ábrán látható két háromszög területének az összege. A paralelogramma és annak területe az egyenes választásától független, így csak a két háromszög területének összege vizsgálandó. E területösszeg kétszerese (a 2. ábra további jelöléseit is használva): . A két háromszög hasonló, mivel a párhuzamosságok miatt megfelelő szögeik egyenlőek. Ezért , azaz . Így a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint , ami , értékétől független állandó. A pontosan akkor veszi fel ezt a minimális értéket, ha a becslésben egyenlőség áll, azaz ha . Ez éppen azt jelenti, hogy a két hasonló háromszög területe egyenlő, vagyis e két háromszög egybevágó, azaz egy-egy megfelelő oldaluk egyenlő ‐ például az a kettő, amelyeknek közös végpontja a . A minimális helyzetben tehát felezi az egyenesnek a szögtartományba eső szakaszát.
2. ábra |