Feladat: B.3843 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balambér Dávid ,  Berna Zoltán ,  Bohner Gerő ,  Csata Árpád ,  Csizmadija Laura ,  Dombi Péter ,  Dudás János ,  Dudás László ,  Fülöp Bálint ,  Grósz Dániel ,  Halász Máté ,  Heinczinger Ádám ,  Kálmán Kornél ,  Kiss Benedek ,  Kiss Réka ,  Kőhalmi István ,  Koszta Botond ,  Kozics György ,  Kristóf Panna ,  Kriván Bálint ,  Kunovszki Péter ,  Lajos Máté ,  Meggyes Balázs ,  Pálovics Róbert ,  Pap Bálint ,  Réti Norbert ,  Sárkány Lőrinc ,  Szabó Beáta Tünde ,  Szabó Levente ,  Szívós Eszter ,  Tóth Balázs ,  Tóthmérész Lilla ,  Varga András ,  Weisz István 
Füzet: 2006/október, 408 - 409. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Körérintők, Diszkusszió, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/október: B.3843

Megadható-e a síkban négy különböző pont úgy, hogy közülük bármelyik kettőhöz létezzen rajtuk átmenő kör, amelyhez a másik két pontból egyenlő hosszúságú érintők húzhatók?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy körhöz két pontból akkor húzhatók egyenlő hosszúságú érintők, ha a két pont egyenlő távolságra van a kör középpontjától, és ez a távolság nagyobb a kör sugaránál (ld. az 1. ábrán).

 
 

1. ábra
 

Ebben az esetben a kör M középpontja rajta van az első pontpár (A, B) és a második pontpár (C, D) által meghatározott szakasz felező merőlegesén is. Ha e két felező merőleges egyetlen pontban metszi egymást, akkor az A, B, C, D pontnégyes nem megfelelő, hiszen az A, B és a C, D pontpárok szerepének felcserélésével nem teljesül ez a távolságokra adódott feltétel. (Kivételt jelent az elfajuló eset, amikor mind a négy pont ugyanazon a körön helyezkedik el, amelyhez persze bármelyikükből nulla hosszúságú érintő húzható.) Szükséges tehát, hogy az AB és CD szakaszok felező merőlegesei egybeessenek (ld. 2. és 3. ábrák). Ekkor mindig beoszthatjuk pontjainkat két párra úgy, hogy a megfelelő szakaszok felező merőlegeseinek vagy egyáltalán ne legyen közös pontja (mint a 2. ábrán, amikor a négy pont egy egyenesbe esik) vagy úgy, hogy a felező merőlegeseknek egyetlen közös pontjuk legyen (3. ábra). A fentiek szerint mind a két esetben megállapíthatjuk, hogy a pontnégyes nem megfelelő.
 
 

2. ábra
 

 
 

3. ábra
 

A feladat kérdésére adandó válasz tehát (az érintőszakasz szokásos értelmezésével) nemleges. Amennyiben nulla hosszúságú érintőt is megengedünk, akkor egy kör négy különböző pontja megfelelő ‐ ettől különböző megoldás viszont nincs.