Kezdőlap


Feladat:	C.823	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fonyó Dávid , Károly Dóra
Füzet:	2006/május, 287 - 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Százalékszámítás, Szöveges feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: C.823

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kétszeri árcsökkentés után adódó ár az alábbi egyenlettel írható fel, ahol az árcsökkentés mértéke százalékban $0 < x; y < 10$ egészek:

\begin{matrix} (69 000 \cdot \frac{100 - x}{100}) \frac{100 - y}{100} = 60 306, \\ (100 - x) (100 - y) = 8740, \\ 10 000 - 100 y - 100 x + x y = 8740, \\ 1260 = 100 (x + y) - x y . \end{matrix}

0 < x; y < 10

feltétel miatt

x y

nem lehet nagyobb 81-nél, másrészt

100 (x + y)

két nullára végződik, ezért

100 (x + y) = 1300

, vagyis

x + y = 13

és

x y = 40

. Az

x = 13 - y

behelyettesítésével kapjuk:

\begin{matrix} (13 - y) y = 40, 0 = y^{2} - 13 y + 40, (y - 5) (y - 8) = 0. \end{matrix}

A leértékelések mértéke tehát 5% és 8%.

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a televízió ára a kétszeri árengedmény során

p_{1} %

-ára, illetve

p_{2} %

-ára csökkent. Mivel az árengedmények %-ban kifejezve 10-nél kisebb pozitív egész számok voltak, azért nyilván

91 \leq p_{1} \leq 99

és

91 \leq p_{2} \leq 99

p_{1}; p_{2} \in N^{+}

.
A televízió árváltozására vonatkozó feltétel alapján:

69 000 \frac{p_{1}}{100} \frac{p_{2}}{100} = 60 306

, amiből

p_{1} p_{2} = 8740

.
Mivel

5 ∣ 8740

és az 5 prímszám, azért

5 ∣ p_{1}

, vagy

5 ∣ p_{2}

. A

[91; 99]

intervallumban az egyetlen 5-tel osztható pozitív egész szám a 95, így a

p_{1}

és

p_{2}

közül az egyik csak 95 lehet, míg a másik emiatt

\frac{8740}{95} = 92

({p_{1}; p_{2}} = {92; 95})

.
Ezek meg is felelnek a feladat feltételének, hiszen

\begin{matrix} 69 000 \frac{95}{100} \frac{92}{100} = 69 000 \frac{92}{100} \frac{95}{100} = 60 306. \end{matrix}

Ha a televízió ára a kétszeri árcsökkentés során valamilyen sorrend szerint a 95, illetve 92%-ára változott, akkor az egyes árengedmények: 5% és 8%.