Kezdőlap


Feladat:	C.822	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2006/május, 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Jensen-féle egyenlőtlenség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: C.822

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a feltétel szerint $x \geq 0$ , $y \geq 0$ és a négyzetgyök értelmezése szerint a négyzetgyökök nem negatívak, négyzetre emelhetjük az egyenlőtlenséget. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{x}{2} + 2 \sqrt[]{\frac{x y}{4}} + \frac{y}{2} \leq x + y, \end{matrix}

ami az eredetivel ekvivalens. Rendezve az egyenlőtlenséget

\begin{matrix} \sqrt[]{x y} \leq \frac{x + y}{2} . \end{matrix}

Ez pedig nem más, mint a számtani és mértani közepekre fennálló ismert összefüggés. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

x = y

Megjegyzés. A feladatra sokféle megoldás érkezett. Volt, aki a négyzetes közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget használta fel, vagy a Cauchy‐Schwarz‐Bunyakovszkij egyenlőtlenséget, vagy az úgynevezett Jensen-tételt. Természetesen ezen megoldások helyesek, érdemes ilyen ,,nagyágyúkat'' alkalmazni, amikor a feladat egyszerűen is megoldható.