Kezdőlap


Feladat:	C.821	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fendrik Zsóka
Füzet:	2006/április, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pont körüli forgatás, Négyzetek, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: C.821

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a négyzet oldala egységnyi, a $B$ pont a forgatás során egy $C$ középpontú, egységnyi sugarú negyedkörív pontjait futja be. Az $A$ pont pedig ugyancsak a $C$ középpontú, de $\sqrt[]{2}$ sugarú negyedköríven mozog.

A B

szakasz által súrolt területet az

A A'

húrhoz tartozó körszelet és a

B A' B'

síkidom területének az összege adja. A körszelet

T_{1}

területe a

\sqrt[]{2}

sugarú negyedkörcikk és az

A C A'

háromszög területének különbsége:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{{(\sqrt[]{2})}^{2} π}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2} = \frac{π}{2} - 1. \end{matrix}

B A' B'

síkidom területe,

T_{2}

B A' B' C

egységoldalú négyzet és az egységnyi sugarú negyedkörcikk területének a különbsége:

\begin{matrix} T_{2} = 1 - \frac{π}{4} . \end{matrix}

A keresett

T

terület:

\begin{matrix} T = \frac{π}{2} - 1 + 1 - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} . \end{matrix}

Megjegyzés. Érdemes felfigyelni arra, hogy a szóban forgó terület éppen egy egységnyi sugarú negyedkör területe: ekkora az a terület, amelyet egy, a végpontja körül

90^{\circ}

-kal elforgatott egységnyi szakasz súrol. Eredményünk azt látszik sugallni, hogy a ,,súrolt'' terület nagysága nem függ a forgatás középpontjától.