Kezdőlap


Feladat:	180. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hajós György , Jónás P. , Klein Mátyás , Kőrösy J. , Mattyasovszky L , Molnár L. , Stern D. , Szekeres Gy.
Füzet:	1928/szeptember, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fizika, Geometriai optika, Tükrök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/április: 180. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tárgy és kép távolságát a tükör optikai középpontjától számítva és pozitívnak tekintve a görbületi középpont felé

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}, ahonnan k = \frac{f t}{t - f} . \end{matrix}

A mozgó tárgypont helyét a

\begin{matrix} t = 2 f - c τ \end{matrix}

függvény határozza meg, ahol

τ

a független változó, az időt jelenti, melyet akkor kezdünk számítani, amidőn a tárgy a görbületi középpontból

(t = 2 f)

kiindul.

c

a mozgó pont sebessége.
A kép távolságát, mint az idő függvényét fejezzük ki:

\begin{matrix} k = \frac{f (2 f - c τ)}{2 f - c τ - f} = \frac{2 f^{2} - f c τ}{f - c τ} . \end{matrix}

(1)

A kép sebességét

k

nak az idő szerinti differenciálhányadosa fejezi ki:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{d k}{d τ} = \frac{- f c (f - c τ) + (2 f^{2} - f c τ) c}{{(f - c τ)}^{2}} = c {(\frac{f}{f - c τ})}^{2} . \end{matrix}

(2)

A kép gyorsulása

v_{k}

-nak az idő szerinti differenciálhányadosa:

\begin{matrix} a_{k} = \frac{d v_{k}}{d τ} = \frac{- c f^{2} \cdot 2 (f - c τ) \cdot (- c)}{{(f - c τ)}^{4}} = \frac{2 f^{2} c^{2}}{{(f - c τ)}^{3}} . \end{matrix}

(3)

(3) szerint a gyorsulás nem állandó, tehát a kép mozgása egyenlőtlenűl változó.
A mozgást arra az időre kell vizsgálnunk, amíg

t

értéke

2 f

-től

0

-ig változik, tehát

τ

változik

0

-tól

\frac{2 f}{c}

-ig.
A kép helyére vonatkozólag az (1) ad felvilágosítást.

τ = 0

mellett

k = 2 f

;

τ = \frac{f}{c}

mellett

k = \pm \infty

; ha

\frac{f}{c} < τ < \frac{2 f}{c}

, akkor

k < 0

és ha

τ = \frac{2 f}{c}

, akkor

k = 0

.
(2)-ből látjuk, hogy a sebesség mindig pozitív: a kép pozitív irányban mozog

k = 2 f

-től a

k = + \infty

ig, ill.

k = - \infty

-tól

k = 0

-ig.
Ha

t = 2 f

vagy

t = 0

, akkor egyszersmind

k = 2 f

ill.

k = 0

és

v_{k} = c

. A sebesség értéke

v_{k} = c

-től növekedik

+ \infty

-ig, azután

+ \infty

-től csökken

c

-ig,

v_{k} = + \infty

τ = \frac{f}{c}

.
Ezt mutatja a (3) is, amely szerint a gyorsulás pozitív, amíg

τ < \frac{f}{c}

, de negatív, ha

τ > \frac{f}{c}

Klein Mátyás (Szent-László rg, VIII, o. Kiskunfélegyháza.)