Kezdőlap


Feladat:	151. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bernhard Gy. , Böszörményi Gy. , Csalán E. , Erdélyi L. , Erdős György , Gerő L. , Glatz L. , Gregor A. , Hajdu Gy. , Hajós György , Klein M. , Molnár L. , Papp L. , Rosenthal E. , Szmodics Z. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Weisz Lili , Wolf F. , Ziegler I.
Füzet:	1928/január, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/november: 151. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $M$ pontnak $Q = m g$ súlya két összetevőre bontható; az egyik merőleges a lejlőre, a másik a lejtővel párhuzamos.
Az első legyen $p = Q cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g$ ; a második $f = Q sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g$ .
A súrlódási erő állandóan ugyanakkora és a mozgás irányával ellenkező irányú, nagysága pedig: $S = σ p = \frac{\sqrt[]{2}}{4} m g$ .
A felfelé haladó pontra ható erők erdője eszerint: $f + S$ , a mozgás irányával ellenkező; ezen állandó erő a mozgást egyenletesen lassítja. A gyorsulás

\begin{matrix} γ = \frac{f + S}{m} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{4} g . \end{matrix}

A kezdősebesség

v_{0} = 1000 cm \cdot {sec}^{- 1}

A sebesség

t

idő múlva:

\begin{matrix} v = v_{0} - γ t = 1000 - \frac{3 \sqrt[]{2}}{4} \cdot 981 t . \end{matrix}

A felfelé való mozgás addig tart, amíg

v = 0

lesz. Ez bekövetkezik, ha

\begin{matrix} t_{1} = \frac{v_{0}}{γ} = \frac{1000 \times 4}{3 \times \sqrt[]{2} \times 981} = 0, 96 sec . \end{matrix}

Ezen idő alatt megtett út:

\begin{matrix} s = v_{0} t_{1} - \frac{1}{2} γ t_{1}^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2 γ} = \frac{v_{0}^{2} \sqrt[]{2}}{3 g} = \frac{10^{6} \times \sqrt[]{2}}{3 \times 981} = 480, 5 cm . \end{matrix}

A leszállás közben működő erő:

f - S = \frac{\sqrt[]{2}}{4} m g

. Tehát a gyorsulás

\begin{matrix} γ' = \frac{f - S}{m} = \frac{\sqrt[]{2}}{4} g . \end{matrix}

A leszállás tartama az

s = \frac{1}{2} γ' t_{2}^{2}

egyenletből számítható.

\begin{matrix} t_{2} = \sqrt[]{\frac{2 s}{γ'}} = \sqrt[]{\frac{2 \cdot v_{0}^{2} \sqrt[]{2} \cdot 4}{3 g \cdot \sqrt[]{2} \cdot g}} = \frac{2 v_{0} \sqrt[]{6}}{3 g} = 1, 66 sec . \end{matrix}

A kiindulási ponthoz visszatérve a sebesség:

v_{2} = \sqrt[]{2 γ' s} = \frac{v_{0}}{\sqrt[]{3}} = 577, 35 {cm. sec}^{- 1}

2^{\circ}

. Az

M

pont súlyának munkája felszállás közben, tekintettel arra, hogy az emelkedés magassága:

h = s sin 45^{\circ} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sqrt[]{2}}{3 g} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}}{3 g}

\begin{matrix} L = m g h = m g \cdot \frac{v_{0}^{2}}{3 g} = \frac{m v_{0}^{2}}{3} = \frac{100 \cdot 10^{6}}{3} = \frac{10^{8}}{3} erg = \frac{10}{3} joule . \end{matrix}

A súrlódás munkája

\begin{matrix} L' = S s = \frac{\sqrt[]{2}}{4} m g \cdot \frac{v_{0}^{2} \sqrt[]{2}}{3 g} = \frac{m v_{0}^{2}}{6} = \frac{L}{2} = \frac{10^{8}}{6} erg = \frac{10}{6} joule . \end{matrix}

A fellökött

M

pont mozgási energiája a mozgás kezdeten:

E_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

: ezt felemészti a nehézségi erő és a súrlódás ellenében végzett munka, azaz

\begin{matrix} E_{0} = L + L' = \frac{m v_{0}^{2}}{3} + \frac{m v_{0}^{2}}{6} = \frac{m v_{0}^{2}}{2} . \end{matrix}

Leszállás közben a nehézségi erő

L

munkája részben a súrlódás legyőzésére szolgál, részben létrehozza az

\frac{1}{2} m v_{2}^{2}

eleven erőt. Tehát:

L = S s + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} = \frac{m v_{0}^{2}}{6} + \frac{m v_{0}^{2}}{6} = \frac{m v_{0}^{2}}{3}

; a számítással megegyező.
Végül kimondhatjuk, hogy a kezdeti mozgási energia egyenlő tartozik lenni a súrlódás ellenében végzett munka és a mozgás végén elbánó mozgási energia összegével,¹ azaz:

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 2 S s + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} = 2 \cdot \frac{m v_{0}^{2}}{6} + \frac{m v_{0}^{2}}{6} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} . \end{matrix}

Erdős György (Vörösmarty Mihály főreál VIII. o. Bp. VIII.)

¹A nehézségi erő munkája zérus, minthogy a kezdő és véghelyzet ugyanaz!