Kezdőlap


Feladat:	218. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fenyves F. , Ignátz P. , Jónás P. , Katz D. , Mattyasovsky László , Papp L.
Füzet:	1929/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Coulomb-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/január: 218. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömbök $A$ , $B$ , $C$ középpontjai egy vízszintes síkban fekvő, $R$ sugarú körben helyezkednek el, mint egy egyenlőoldalú háromszög csúcsai, minthogy súlyuk és töltésük egyenlő. Tehát

\begin{matrix} A B = B C = C A = R \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Határozzuk meg a gömbök bármelyikére, pl. az

A

-ra ható erőket. Az

A

gömböt a

B

és

C

gömbök a

B A

ill.

C A

irányban egyenlő erővel taszítják; ennek nagysága Coulomb törvényével

\begin{matrix} F = F' = \frac{e^{2}}{3 R^{2}} . \end{matrix}

F

és

F'

erők

60^{\circ}

-ú szöget zárnak be egymással; eredőjük

\vec{A N}

, felezi ezen szöget; tehát

\begin{matrix} \vec{A N} = 2 F cos 30^{\circ} = F \sqrt[]{3} = \frac{e^{2} \sqrt[]{3}}{3 R^{2}} . \end{matrix}

F

F'

\vec{A N}

erők az

A B C

síkban feküsznek;

\vec{A N}

O A

sugár irányába esik.
Az

A

gömbre az

\vec{A N}

erőn kívül hat a súlya,

p

, függőleges irányban. Az egyensúlyi helyzetben az

l

fonál, melyet a függőleges síkra vetítve ^{$^{*}$}

O' A'

valódi nagyságában tüntet fel, a két erő

P

eredőjének irányában helyezkedik el.

Ábránkban feltüntetett jelzésekkel, az egyensúlyi helyzet

\begin{matrix} \vec{A' N'} : p = O_{1} A' : O' O_{1} . \end{matrix}

összefüggés által van meghatározva. Azonban

\vec{A' N'} = \vec{A N}

O_{1} A' = O A = R

és

O' O_{1} = \sqrt[]{l^{2} - R^{2}}

. Tehát

\begin{matrix} \frac{e^{2} \sqrt[]{3}}{3 R^{2}} : p = R : \sqrt[]{l^{2} - R^{2}}, \\ \frac{R^{3}}{\sqrt[]{l^{2} - R^{2}}} = \frac{e^{2}}{p \sqrt[]{3}} . & (I.) \end{matrix}

p

értéke dinekben,

l

cm-ekben van megadva, tehát az

e

értékét is C. G. S. egységben kell megadnunk:

e = 12 \cdot 10^{- 8} coulomb = 12 \cdot 10^{- 8} \cdot 3 \cdot 10^{9} C. G. S. egység = 360 C. G. S. egység

\begin{matrix} \frac{e^{2}}{p \sqrt[]{3}} = \frac{1296 \cdot 10^{2}}{1296 \cdot \sqrt[]{3}} = \frac{10^{2}}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Helyettesítsük ezen értéket az I. egyenletbe; emeljünk négyzetre mindkét oldalán és rendezzünk úgy, hogy

R^{2}

-re nézve a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 3 \cdot {(R^{2})}^{3} + 10^{4} \cdot R^{2} - 4 \cdot 10^{6} = 0. \end{matrix}

(II.)

Ezen egyenletet

R^{2} = 10^{2}

kielégíti; más valós gyöke nincs ezen egyenletnek és így

R = 10 cm

Mattyasovszky László (ciszterci rg. VIII. o. Pécs)

Jegyzet. Legyen

R^{2} = x

; az

\begin{matrix} y = 3 x^{2} + 10^{4} x - 4 \cdot 10^{6} \end{matrix}

harmadfokú függvény állandóan növekedik

- \infty

-től

+ \infty

-ig, ha

x

változik

- \infty

-től

+ \infty

-ig, tehát csak egy helyen lesz

y = 0

. Ugyanis a függvény differenciálhányadosa,

\begin{matrix} y' = 9 x^{2} + 10^{4} \end{matrix}

x

minden értékénél pozitív.
A II. egyenlet grafikus megoldása az

\begin{matrix} y = x^{3} és y = \frac{10^{4}}{3} (- x + 4 \cdot 10^{2}) \end{matrix}

függvényeknek megfelelő vonalak metszőpontjának meghatározásával történhetik.

^{$^{*}$} A vetület síkja párhuzamos az

\vec{A N}

és

p

erők által meghatározott síkkal.

^* $O_{1}$ azOO'ésA'B'metszőpontja;jelzésehiányzikazábrán.