Kezdőlap


Feladat:	214. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke I. , Brünn R. , Csíky János , Erdős Pál , Etre S. , Feldheim E. , Fenyves F. , Grünwald T. , Hajós György , Hapka I. , Holczinger I. , Ignátz P. , Jónás P. , Katz D. , Katz Z. , Kelemen Sz. , Liebermann J. , Mattyasovszky L. , Molnár E. , Papp Gy. , Papp L. , Radó Gy. , Rónai Gy. , Schwarcz F. , Schön Gy. , Sebestyén J. , Stern M. , Székely Lilly , Szolovits D. , Walient P.
Füzet:	1929/március, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fizika, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/január: 214. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az $α$ szög alatt $v_{0}$ kezdősebességgel elhajított test emelkedési magassága

\begin{matrix} y_{1} = \frac{v_{0}^{2} sin 2 α}{2 g}, \end{matrix}

ha pedig a hajítás szöge

90^{\circ} - α

, akkor

\begin{matrix} y_{2} = \frac{v_{0}^{2} sin^{2} (90 - α)}{2 g} = \frac{v_{0}^{2} cos^{2} α}{2 g} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} (sin^{2} α + cos^{2} α) = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = H, \end{matrix}

ahol

H

azon emelkedési magasság, mely

α = 90^{\circ}

-hoz tartozik.

2^{\circ}

. Az

α

szöghöz tartozó emelkedési magasság legyen most

\begin{matrix} y = \frac{v_{0}^{2} sin^{2} α}{2 g} = H sin^{2} α, \end{matrix}

(1)

az ehhez tartozó vízszintes eltávolodás pedig, az ú. n. hajítási távolság fele,

\begin{matrix} x = \frac{v_{0}^{2} sin^{2} α}{2 g} = H sin^{2} α . \end{matrix}

(2)

x

és

y

α

paraméter függvényei. ¹ Ha

α

-t az (1) és (2) egyenletből kiküszöböljük, összefüggést nyerünk

x

és

y

között, a tetőpontok koordinátái között.
Tekintettel (1)-re

\begin{matrix} sin^{2} 2 α = 4 sin^{4} α cos^{2} α = 4 sin^{2} α (1 - sin^{2} α) = 4 \frac{y}{H} (1 - \frac{y}{H}) . \end{matrix}

(3)

Minthogy (2)-ből

\begin{matrix} x^{2} = H^{2} sin^{2} α \\ x^{2} = H^{2} 4 \frac{y}{H} (1 - \frac{y}{H}) = 4 y (H - y) \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} x^{2} + 4 y_{2} - 4 y H = 0. \end{matrix}

(4)

Utóbbi egyenlet, 4-gyel való osztás és

y^{2} - H y

teljes négyzetté való kiegészítése után

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} + {(y - \frac{H}{2})}^{2} = \frac{H^{2}}{4} ill. \frac{x^{2}}{H^{2}} + \frac{{(y - \frac{H}{2})}^{2}}{{(\frac{H}{2})}^{2}} = 1 \end{matrix}

alakra hozható, amelyből világosan látjuk, hogy a hajítási tetőpontok oly ellipszisen feküsznek, melynek középpontja

\begin{matrix} x = 0, y = \frac{H}{2} \end{matrix}

koordináták által van meghatározva, fél nagytengelye

a = H

(az

x

tengellyel párhuzamos), fél kistengelye

b = \frac{H}{2}

(az

y

tengelyen fekszik).

Csiky János (Dugonics András g. VII. o. Szeged)

¹Feltételezzük, hogy a hajítás síkja minden esetben ugyanaz és

x, y

oly koordinátarendszerhez tartoznak, melynek

x

-tengelye az elhajítás helyén átmenő vízszintes a hajítás síkjában és az

y

-tengelyé az elhajítás helyén átmenő függőleges egyenes.