Kezdőlap


Feladat:	209. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél I. , Balogh K. , Bátorffy V. , Brünn R. , Detrich B. , Erdélyi L. , Erdős Pál , Etre S. , Fenyves F. , Góber J. , Hajós György , Ignátz P. , Jacobi A. , Jónás P. , Katz D. , Kelemen Sz. , Kohn P. , Lindtner P. , Mattyasovszky L. , Papp Gy. , Papp L. , Pomóthy D. , Schwarz E. , Sebestyén J. , Sebők Imre , Soldinger J. , Székely Gy. , Székely Lilly , Szolovits D. , Sztruhár A. , Walient P.
Füzet:	1929/február, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbtükör, Síktükör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/december: 209. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O$ a gömbtükör optikai, $C$ a geometriai középpontja és $F$ a gyújtópontja; $M$ pontban metszi a sík üveglap a gömbtükör főtengelyét. A pontszerű fényforrás nem lehet az $O$ és $F$ között, mert ekkor a gömbtükör virtuális képet hoz létre a tükör mögött. Ha a fényforrás $T$ -ben van, $F$ és $C$ között, akkor a gömbtükör által létesített valódi kép $K$ pontban van, ahol a síktükör is képet (virtuális) hoz létre; ha pedig a fényforrás $K$ -ban van, akkor a gömbtükör által létesített valódi képe $T$ -ben van és ugyanitt hoz létre a síktükör is (virtuális) képet. A feladatnak eszerint két megoldása van.

Legyen

O T = t

O K = k

; akkor

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} k + t = 2 d . \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} \frac{k + t}{k t} = \frac{1}{f}, illetőleg k t = (k + t) f = 2 d f . \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) egyenletekből álló rendszer

k

és

t

-re nézve szimmetrikus, amely körülmény igazolja előbbi megállapításunkat, hogy t. i.

T

és

K

felcserélhetők,

k

és

t

gyökei tehát az

\begin{matrix} x^{2} - 2 d x + 2 d f = 0 \end{matrix}

egyenletnek; ennek gyöke valósak (és pozitívok), ha

\begin{matrix} 4 d^{2} - 8 d f ≧ 0 azaz d ≧ 2 f . \end{matrix}

Feladatunkban foglalt adat kielégíti ezen feltételt és így a feladat megoldható.
A megadott numerikus értékeket helyettesítve

\begin{matrix} x^{2} - 240 x + 40 \cdot 120 = 0 \\ x = \frac{240 \pm \sqrt[]{240^{2} - 160 \cdot 120}}{2} = \frac{240 \pm \sqrt[]{40^{2} (6^{2} - 12)}}{2} = 120 \pm 40 \sqrt[]{6} \\ x_{1} = 217, 98 cmx_{2}=22,02 cm. \end{matrix}

Ezen gyökök mindegyike oly távolságot határoz, amely a feladat követelményeinek megfelel.

Sebők Imre (Mátyás király rg. VIII. o. Bp.)