Kezdőlap


Feladat:	313. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barna I. , Barta F. , Fejér Gy. , Jakobovits I. , Selényi. , Simon Á.
Füzet:	1931/február, 188 - 189. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Lineáris hőtágulás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/december: 313. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az összetett szalag legyen valamely $t^{\circ}$ C hőmérsékleten (pl. $20^{\circ}$ C-nál) egyenes, míg ${(t + 1)}^{\circ}$ C-nál a külső szalag görbületi sugara $R$ , a belsőé $R - d$ , ahol $d$ a két szalagköze, középtől-középig mérve. Legyen $l$ az összetett szalag hossza és $h$ a szabad végének elmozdulása.

Ábránkban

A O = R

A C = 2 R

A D = h

A B = l

; így az

A B C

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} A B^{2} = A C \cdot A D, azaz l^{2} = 2 R \cdot h, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} h = \frac{l^{2}}{2 R} . \end{matrix}

(1)

Az összetett szalag görbületét az okozza, hogy a külső rézszalag jobban, a belső vas-szalag kevésbé hosszabbodik meg. Legyen

α_{1}

a réz,

α_{2}

a vasszalag hőtágulási együtthatója,

φ

a meggörbült szalaghoz, mint körívhez tartozó (

A O B

) középponti szög abszolut mérték száma, akkor
a külső szalagra áll:

\begin{matrix} l (1 + α_{1}) = R φ, \end{matrix}

(2)

a belső szalagra áll:

\begin{matrix} l (1 + α_{2}) = (R - d) φ . \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3)-ból:

\begin{matrix} l (α_{1} - α_{2}) = d φ . \end{matrix}

(4)

Minthogy

α

igen kicsiny az egységhez képest, (2)-ből:

φ = \frac{l}{R}

.

Ha ezt (4)-be helyettesítjük:

\begin{matrix} R = \frac{d}{α_{1} - α_{2}}, \end{matrix}

(5)

és végül (1)-ből:

\begin{matrix} h = 2 (α_{1} - α_{2}) \frac{l^{2}}{d} . \end{matrix}

(6)

A megadott numerikus értékekkel:

α_{1} - α_{2} = 11 \times 10^{- 3}

;

\begin{matrix} \frac{l^{2}}{d}^{1} = \frac{{(200)}^{2}}{0, 5} = 8 \times 10^{4}^{m} /_{m}; h = 2 \times 8 \times 11 \times 10^{- 3} \times 10^{4} = 1, 76^{m} /_{m} . \end{matrix}

¹
Látnivaló, hogy az összetett fémszalag elég nagy mértékben reagál

1^{\circ}

C hőmérséklet-változásra. A fémszalag szabad végének elmozdulása a szalag-hosszának négyzetével egyenes arányban, a két szalag közének vastagságával fordítva arányos. ‐ Ha a két szalag végig össze van forrasztva egymással, az elmélete jóval komplikáltabb s az eredményben ‐ miként a 303*) feladatban ‐ a rugalmassági modulusok is szerepelnek. A (6) eredmény csak megközelítően helyes, hiszen úgyszólván tisztán a geometriai viszonyokból vezettük le, mechanikai meggondolások, t. i. a fellépő rugalmas erők tekintetbevétele nélkül.

¹A szalagok vastagsága

0, 1^{m} /_{m}

, a betétlapé

0, 4^{m} /_{m}

; tehát középtől-középig

d = 0, 5^{m} /_{m}