Kezdőlap


Feladat:	B.3838	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bozi Áron
Füzet:	2007/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kettes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3838

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az $A$ kettes számrendszerbeli alakját $A_{2}$ -vel, a tízes számrendszerbelit $A_{10}$ -zel.

\begin{matrix} A_{2} = {\underset{︸}{111 ... 111}}_{}^{} = 1 {\underset{︸}{000 ... 000}}_{}^{} - 1. \end{matrix}

A két kapcsos zárójel

n

db 1-est, illetve 0-t tartalmaz. Így

A_{10} = 2^{n} - 1

. Írjuk fel

A_{2}

-t a következőképpen:

A_{2} = {\underset{︸}{000 ... 000}}_{}^{} {\underset{︸}{111 ... 111}}_{}^{}

.
Így kapunk két darab

n

számjegyből álló részt. Vizsgáljuk ezeket a részeket külön-külön, mint

n

jegyű kettes számrendszerbeli számokat! Ha most hozzáadunk a kibővített

A_{2}

-höz

A_{2}

-t, akkor kettes számrendszerben írva

1 {\underset{︸}{000 ... 000}}_{}^{} - 1

-et adunk hozzá. Tehát valahányszor hozzáadunk

A_{2}

-t,
‐ a bal oldali

n

jegyű kettes számrendszerbeli számhoz 1-et adunk hozzá;
‐ a jobb oldali

n

jegyű kettes számrendszerbeli számból pedig 1-et veszünk el.
Tehát a bal oldali szám és a jobboldali szám összege (kettes számrendszerben)

{\underset{︸}{111 ... 111}}_{}^{}

(

n

db 1-es). Ez pedig csak úgy lehetséges, ha összesen

n

db 1-es van a bal oldali és a jobb oldali részben. (Mert ha pl. a bal oldali rész 3. számjegye 1, akkor a jobboldali rész 3. számjegyének 0-nak kell lennie stb.)
Ez tehát minden újabb

A_{2}

-hozzáadásnál így működik egészen addig, míg a jobb oldali szám el nem fogy. Ez

2^{n} - 1

lépés alatt történne meg, vagyis

2^{n} \cdot A

-ig igaz az állítás.
Az állításnál általánosabban tehát azt mutattuk meg, hogy minden

2^{n}

-nél nem nagyobb pozitív egész szorzó esetén igaz a feladat állítása. (Az pedig világos, hogy

n \leq 2^{n}

, hiszen

2^{n} - 1

kettes számrendszerbeli alakjában minden helyiértéken 1-es áll, a helyiértékek mindegyike nagyobb viszont 1-nél ‐ kivéve magát az 1-et.)