Kezdőlap


Feladat:	435. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erőd J. , Geba I. , Manner L. , Papp G. , Schmidt J.
Füzet:	1933/október, 51 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 435. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen $B'$ a $B$ pont vetülete a kör síkján; tehát $B'$ a kör $C O D$ átmérőjén, az $e$ vetületén fekszik. A $B$ pont helyzetét az $I B = O B' = x$ távolság határozza meg. Fejezzük ki $x$ -et, mint az idő függvényét!

A B B'

derékszögű háromszögben, (melynek két állandó nagyságú oldala van),

\begin{matrix} {\bar{A B'}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} - {\bar{B B'}}^{2} = 9 - 4 = 5. \end{matrix}

Az időt kezdjük akkor számítani, midőn

A

C

-ben van; így

\hat{C O A} = ω t

. Ha

A'

A

vetülete a

C D

-n, akkor

\begin{matrix} O A' & = O A cos ω t = cos ω t, \\ A A' & = O A sin ω t = sin ω t . \end{matrix}

Minthogy az

A A' B'

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} A' B' = \sqrt[]{{\bar{A B'}}^{2} - {\bar{A A'}}^{2}} = \sqrt[]{5 - sin^{2} ω t}, \end{matrix}

ahol

A' B'

mindig pozitív, azért

\begin{matrix} x = O B' = O A' + \bar{A' B'} = cos ω t + \sqrt[]{5 - sin^{2} ω t} = cos ω t + \sqrt[]{4 + cos^{2} ω t} . \end{matrix}

ω t = 0 (t = 0)

vagy

ω t = 2 π

, akkor

x = 1 + \sqrt[]{5}

.
Ha

ω t = π

, akkor

x = \sqrt[]{5} - 1

.
A

B

pont az

e

egyenesnek egy

B_{1} B_{2}

szakaszán mozog, melynek hossza:

\sqrt[]{5} + 1 - (\sqrt[]{5} - 1) = 2

. Ezen szakasz végpontjaiban a

B

pont megfordul; amint látni fogjuk, a sebesség ezen pontokban zérus és előjelét változtatja. A

B

pont sebessége t. i.

\begin{matrix} v = \frac{d x}{d t} = - ω sin ω t - \frac{ω sin ω t cos ω t}{\sqrt[]{4 + cos^{2} ω t}} = - \frac{ω sin ω t}{\sqrt[]{4 + cos^{2} ω t}} (cos ω t + \sqrt[]{4 + cos^{2}} ω t) . \end{matrix}

Minthogy

cos ω t + \sqrt[]{4 + cos^{2} ω t} > 0

t

bármely értékénél,

v

előjele csak

sin ω t

előjelétől függ; tehát

ω t = 0

és

ω t = π

ill.

ω t = π

és

ω t = 2 π

között állandó előjelű, azaz iránya ugyanaz.

v = 0

csak akkor állhat elő, ha

sin ω t = 0

, tehát

ω t = 0

vagy

k π

, amidőn az

A

pont a félkört ill. ennek egész számú többszörösét írta le, a

B

pont pedig a

B_{1}

B_{2}

pontokban van. Ezen pontokban tehát a

B

pont megfordul, mozgásának és sebességének iránya változik.

B

pont gyorsulása

\begin{matrix} a = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{d v}{d t} = - ω^{2} [cos ω t + \frac{3 cos^{4} ω t + 6 cos^{2} ω t - 4}{(4 + cos^{2} ω t) \sqrt[]{4 + cos^{2} ω t}}] \end{matrix}

ω t = 0

, akkor

a < 0

, de már

ω t = \frac{π}{2}

mellett

a > 0

;

ω t = π

mellett

a > 0

. Eszerint

ω t = 0

és

ω t = \frac{π}{2}

között

a = 0

; ekkor a sebesség (abszolút értékre) a legnagyobb. ¹ Tehát a

B

pont sebessége, ha az

x = \sqrt[]{5} + 1

pontból kiindul, zérusból növekedik egy maximumig, azután ismét csökken zérusig, mely előáll az

x = \sqrt[]{5} - 1

pontban. Itt megváltozik a sebesség iránya és abszolút értékre ismét növekedik a maximumig, majd csökken zérusig.

B

pont egyenlőtlenül változó mozgást végez, mely periodusokban ismétlődik. A periodus

\frac{2 π}{ω}

2^{\circ}

. Ha

A B = \sqrt[]{5}

, akkor

{\bar{A B'}}^{2} = 5 - 4 = 1

.
A

B'

pont helyzetét is az

x = sin t

határozza meg;

B'

tehát csak a

C D

átmérőt írhatja le, a

B

e

egyenesnek ezzel egyenlő darabját.

O A B' ▵

egyenlőszárú, mert

O A = A B' = 1

; ezért

A'

x = O B'

távolság felezőpontja. Minthogy

B'

C

-től

D

-ig (és vissza) végez mozgást,

A'

O C

felezőpontjától az

O D

felezőpontjáig,

x = \frac{1}{2}

és

x = - \frac{1}{2}

között mozoghat és így az

A

pont a körön csak az

{A_{1} A_{2}}_{}^{⌢}

íven ² mozoghat, úgy hogy

\begin{matrix} \hat{C O A_{1}} = \frac{π}{3} és \hat{C O A_{2}} = \frac{2 π}{3} . \end{matrix}

¹Amíg t. i.

a = 0

lesz, a gyorsulás és sebesség iránya megegyező, a sebesség növekedik.

a = 0

után a gyorsulás a sebességgel ellentett irányú, a sebesség csökken.

²vagy pedig ezzel, az $O$ pontra nézve szimmetrikus darabon.