Kezdőlap


Feladat:	3777. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Péter
Füzet:	2006/március, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Síkinga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: 3777. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az elforduló rúd végén levő töltések elektrosztatikus energiája megváltozik. A rendszer teljes potenciális energiájának csökkenése a mozgási energiák összegével fog megegyezni. Ez akkor a legnagyobb, amikor az elektrosztatikus potenciális energia a legkisebb, vagyis amikor a szigetelő rúd az eredeti (instabil) egyensúlyi helyzetéhez képest $180^{\circ}$ -ot fordult el.
Ha a tengelyhez közelebbi golyó maximális sebességét $v$ -vel jelöljük, akkor a távolabbi golyó sebessége $3 v$ lesz. A rúd átfordulása során az egyik golyó $\frac{1}{2} L$ , a másik pedig az előzővel ellentétes irányban $\frac{3}{2} L$ távolsággal mozdul el, a rendszer potenciális energiája tehát

\begin{matrix} \frac{3}{2} L Q E - \frac{1}{2} L Q E = L Q E \end{matrix}

értékkel csökken. A munkatétel szerint

\begin{matrix} L Q E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m {(3 v)}^{2}, ahonnan v = \sqrt[]{\frac{Q E L}{5 m}} . \end{matrix}

b)

A rúd stabil egyensúlyi helyzete az lesz, ahol a potenciális energia minimális, ez pedig éppen az előző kérdésben szereplő, az instabil egyensúllyal ellentétes beállású állapot. A két töltött golyóra a homogén elektromos mező olyan erőhatást fejt ki, mintha

g' = Q E / m

nagyságú, vízszintes irányú gravitációs gyorsulás lenne jelen. Ebben a ,,gravitációs mezőben'' a rendszer mint fizikai inga kis amplitúdójú lengéseket végezhet, ezek periódusideje:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{2 m g' s}}, ahol Θ = m {(\frac{3 L}{4})}^{2} + m {(\frac{L}{4})}^{2} = \frac{5}{8} m L^{2} \end{matrix}

a rendszer tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre vonatkoztatva,

2 m

a teljes tömeg,

s = L / 4

pedig a forgástengely és a tömegközéppont távolsága. Ezeket az adatokat a lengésidő képletébe helyettesítve végül

\begin{matrix} T = π \sqrt[]{\frac{5 m L}{Q E}} \end{matrix}

adódik.