Kezdőlap


Feladat:	B.3825	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tossenberger Anna
Füzet:	2006/március, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: B.3825

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden páratlan négyzetszám (ami nyilván csak páratlan szám négyzete lehet) 8-cal osztva 1-et ad maradékul, mert ${(2 k + 1)}^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 k (k + 1) + 1$ , és $k (k + 1)$ páros volta miatt $4 k (k + 1)$ osztható 8-cal.
A $2 n + 1$ páratlan, ezért ha négyzetszám, akkor $8 ∣ (2 n + 1) - 1$ , azaz $8 ∣ 2 n$ , így $4 ∣ n$ .
Ezért $3 n + 1$ is páratlan lesz, így $8 ∣ (3 n + 1) - 1$ , azaz $8 ∣ 3 n$ , vagyis $8 ∣ n$ .
A négyzetszámok végződése: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Mivel $n$ páros, utolsó számjegye 0, 2, 4, 6, 8 lehet.
Foglaljuk táblázatba, hogy ezekben az esetekben mi lehet $2 n + 1$ , illetve $3 n + 1$ utolsó számjegye:

\begin{matrix} \begin{matrix} n & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 2 n + 1 & 1 & 5 & 9 & 3 & 7 \\ 3 n + 1 & 1 & 7 & 3 & 9 & 5 \end{matrix} \end{matrix}

Tehát csak akkor lehet

2 n + 1

-nek és

3 n + 1

-nek is négyzetszámnak megfelelő a végződése, ha

n

utolsó számjegye 0, azaz

5 ∣ n

.

Mivel

8 ∣ n

5 ∣ n

, továbbá az 5 és a 8 relatív prímek,

40 ∣ n