Feladat: C.817 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nacsa Zsolt ,  Nagy Eszter ,  Werner Bence 
Füzet: 2006/március, 146 - 147. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Teljes indukció módszere, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: C.817

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Azt állítjuk, hogy (6...6︸njegy)2+8...8︸njegy=4...4︸2njegy minden pozitív egész n-re igaz. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk be.
Tudjuk, hogy n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n jegy esetén fennáll az egyenlőség, vagyis (6...6︸njegy)2+8...8︸njegy=4...4︸2njegy. Bizonyítandó, hogy
(6...6︸n+1jegy)2+8...8︸n+1jegy=4...4︸2n+2jegy.
A bizonyításhoz vezessük be a következő jelöléseket: a=1...1︸njegy, b=1...1︸2njegy. E jelöléseket felhasználva azt kell bizonyítani, hogy ha
(6a)2+8a=4b,(1)
akkor
(6⋅(10a+1))2+8(10a+1)=4(100b+11).
Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a2+2a kifejezést írva:
36⋅(10a+1)2+80a+8=400b+44,9(100a2+20a+1)+20a+2=100b+11,900a2+200a+11=900a2+200a+11.
Azonossághoz jutottunk, az állítás teljesül (n+1)-re is; a bizonyítást befejeztük.
 
II. megoldás. Az állítás két oldalát lépésenként alakítjuk át:
(6...6︸ndb)2+8...8︸ndb=4...4︸2ndb,(1...1︸ndb)2⋅36+1...1︸ndb⋅8=1...1︸2ndb⋅4,1...1︸ndb⋅4⋅(1...1︸ndb⋅9+2)=1...1︸2ndb⋅4,1...1︸ndb⋅(9...9︸ndb+2)=1...1︸2ndb,1...1︸ndb⋅(10n-1+2)=1...1︸2ndb,1...1︸ndb⋅(10n+1)=1...1︸2ndb,1...1︸ndb⋅10n+1...1︸ndb=1...1︸2ndb,1...1︸2ndb=1...1︸2ndb,
ami azonosság, tehát az állítás minden n-re igaz.
 
III. megoldás. Mivel k...k︸ndb=k⋅10n-19, az eredeti egyenlőség így írható:
(6⋅(10n-1)9)2+8⋅10n-19=4⋅102n-19.
Mindkét oldalt 49-del osztva:
(102n-2⋅10n+1)+(2⋅10n-2)=102n-1,102n-1=102n-1.
Az állítás tehát minden n-re igaz.