Kezdőlap


Feladat:	686. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bizám György , Bún Tamás , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Fonó András , Freud Géza , Gutmann Gy , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Kallós István , Katona László , Králik D. , László R. , Lőke Endre , Margulit György , Nádler Miklós , Nagy F. , Rajó Sándor , Révész Pál , Sándor Gyula , Sebők László , Takács Pál
Füzet:	1939/március, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 686. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $O A$ lejtőn mozgó pont, $M$ , az $O B$ lejtőn mozgó $N$ pontba kerül $x$ idő múlva. Az $M N$ egyenes vízszintes, ha $O M sin α = O N sin β$ .
Azonban $O M = a - \frac{1}{2} g sin α \cdot x^{2}$ , $O N = b - \frac{1}{2} g sin β \cdot x^{2}$ .

Feltételi egyenletünk:

\begin{matrix} (a - \frac{1}{2} g sin α \cdot x^{2}) sin α = (b - \frac{1}{2} g sin β \cdot x^{2}) sin β . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = \sqrt[]{\frac{2 (a sin α - b sin β)}{g (sin^{2} α - sin^{2} β}} . \end{matrix}

Ezen érték elfogadható, ha valós és helyettesítve

O M

O N

kifejezésébe, ezek nem lesznek negatívok. Így egyidejűleg a következő három feltétel áll elő:

\begin{matrix} \frac{a sin α - b sin β}{sin^{2} α - sin^{2} β} \geq 0, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{sin β (b sin α - a sin β)}{sin^{2} α - sin^{2} β} \geq 0, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{sin α (b sin α - a sin β)}{sin^{2} α - sin^{2} β} \geq 0. \end{matrix}

A két utóbbi feltétel nyilván ugyanazt fejezi ki.
Tegyük fel mármost,

α < β

, tehát

sin α < sin β

.
Ekkor kell, hogy

a sin α \leq b sin β

b sin α \leq a sin β

azaz:

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{sin β}{sin α}; \end{matrix}

α > β

, akkor

\begin{matrix} \frac{sin β}{sin α} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{sin α}{sin β} . \end{matrix}

\frac{a}{b} = \frac{sin α}{sin β}

, akkor

O M = O N = 0

. A két mozgó pont

O

-ban találkozik.
Ha

\frac{a}{b} = \frac{sin β}{sin α}

, akkor

x = 0

. Az indulás pillanatában

A B

vízszintes.

α = β

esetben nincs megoldás, ha

a \neq b

. Ha azonban

a = b

, akkor

x = \frac{0}{0}

, azaz a két pontot összekötő egyenes minden helyzetükben vízszintes.
A megadott numerikus értékekkel

(α > β)

\begin{matrix} x = \sqrt[]{\frac{40 \sqrt[]{3} - 10}{9,81 \cdot (\frac{3}{4} - \frac{1}{4})}} \sim 3,47 sec . \end{matrix}

Azonban

\frac{a}{b} = 4

és

\frac{sin α}{sin β} = \sqrt[]{3}

; minthogy

\frac{a}{b} > \frac{sin α}{sin β}

, nem kapunk megoldást. (

O M < 0

O N < 0

!) Az

M N

távolság kívánt helyzete csak akkor állhatna elő, ha a pontok a lejtőkön

O

-n túl is mozoghatnának!