|
Feladat: |
B.3828 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Békéssy Heman András , Blázsik Zoltán , Cseh Ágnes , Dobos Gábor , Gehér György , Halász Veronika , Horváth Zoltán , Károlyi Márton , Kiss-Tóth Christian , Komáromy Dani , Kónya Gábor , Kovács 111 Péter , Kovács 129 Péter , Lorántfy Bettina , Lovász László Miklós , Lukucz Balázs , Mátyás Péter , Nagy János , Nagy Péter , Strenner Balázs , Sümegi Károly , Szabó Tamás , Szalóki Dávid , Szlágyi Csaba , Tossenberger Anna , Udvari Balázs , Ureczky Bálint , Zotter Zsuzsanna |
Füzet: |
2007/január,
18 - 19. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Konvex négyszögek, Háromszög területe, Síkgeometriai bizonyítások, Heron-képlet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/május: B.3828 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nem igaz. Mutatunk példát olyan négyszögre, hogy a területének négyzete egyenlő oldalainak szorzatával, de nincs derékszöge. Tekintsük azt a húrtrapézt, amelynek alapjai 2 és 8, szárai 5 egység hosszúak. (Mivel , ilyen trapéz valóban létezik.) Könnyen kiszámítható, hogy a szárnak a hosszabbik alapra eső merőleges vetülete egység hosszú. Az itt keletkező derékszögű háromszög másik befogója a trapéz magassága, melynek hossza így 4 egység. A trapéz területe tehát területegység, . Az oldalak szorzata . A két mennyiség valóban megegyezik, a különböző alapok miatt pedig nyilván nincsenek derékszögei a szimmetrikus trapéznak.
Megjegyzés. A feladat megoldásához a fenti ellenpélda nyilván elegendő. Ugyanakkor tárgyalható a probléma némiképpen általánosabban is. Az alábbi megoldás a húrnégyszögek közül keresi meg az összes alkalmasat.
II. megoldás. Jelölje a négyszög oldalait , , , , félkerületét . Tegyük fel, hogy a négyszög húrnégyszög, ekkor területére teljesül, hogy Mivel , a terület négyzete: | | A feltétel szerint ez az oldalak szorzatával, -vel egyenlő. Ezt az egyenlőséget átrendezve, majd szorzattá alakítva:
A négy szorzótényező közül legalább az egyik 0. Vizsgáljuk az eseteket külön-külön. I. eset: , azaz . Szavakban: két-két szomszédos oldal összege egyenlő. Ugyanezt a feltételt kapjuk a negyedik szorzótényező nulla voltának vizsgálatakor. Ilyen feltétel mellett nem kell, hogy derékszöge legyen a húrnégyszögnek. Erre egy példát is mutathatunk: az oldalak legyenek rendre 9, 5, 7, 7 egység hosszúak. Könnyen látható, hogy a fenti feltételek teljesülnek erre a négy oldalra, és tudjuk úgy mozgatni az oldalakat, hogy húrnégyszög legyen a négyszögünkből. Többféleképpen is belátható, hogy ennek a négyszögnek nem lesznek derékszögei. (Ennek meggondolását az Olvasóra bízzuk.) II. eset: , azaz , négyszögünk nemcsak húrnégyszög, hanem érintőnégyszög is. Olyan húrtrapéz például, melynek szára , ha és az alapok. III. eset: . Ez nyilván nem teljesülhet. Találtunk tehát a húrnégyszögek között többféle ellenpéldát is, így a feladat kérdésére válaszunk nemleges. |
|