Kezdőlap


Feladat:	B.3644	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörge Péter
Füzet:	2005/május, 270 - 271. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Kör geometriája, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3644

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: Legyen az $A B C$ szabályos háromszög oldala egységnyi, és jelölje a három kör sugarát rendre $R_{a}$ , $R_{b}$ , $R_{c}$ , ahol $R_{a} \geq R_{b} \geq R_{c}$ . A háromszögből lefedett rész területe a körök összterületének a hatoda. A legnagyobb kör sugara nem kisebb mint $\frac{1}{2}$ , a háromszög oldalának a fele, és nem nagyobb mint $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ , a háromszög magassága. $R_{b}$ és $R_{c}$ legfeljebb $1 - R_{a}$ , különben a $B$ és az $A$ középpontú, illetve a $C$ és az $A$ középpontú körök metszenék egymást. A lefedett tartományok területe növelhető, ha az $R_{b}$ és $R_{c}$ sugarakat $1 - R_{a}$ értékre növeljük. Ekkor ugyanis a két $1 - R_{a}$ sugarú kör érinti az $A$ középpontú kört, de nem érintik egymást és a szemközti oldalakat sem, hiszen a sugaruk nem nagyobb, mint $\frac{1}{2}$ . Az így együttesen lefedett terület:

\begin{matrix} T = \frac{π}{6} (R_{a}^{2} + R_{b}^{2} + R_{c}^{2}) = \frac{π}{6} (R_{a}^{2} + {(1 - R_{a})}^{2} + {(1 - R_{a})}^{2}) . \end{matrix}

Négyzetre emelés és rendezés után a következő másodfokú kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} T = \frac{π}{6} (3 R_{a}^{2} - 4 R_{a} + 2) . \end{matrix}

Ez akkor maximális, ha a zárójelben levő kifejezés maximális. Keressük meg azt az

R_{a}

értéket az

[\frac{1}{2}; \frac{\sqrt[]{3}}{2}]

intervallumban, ahol a

3 R_{a}^{2} - 4 R_{a} + 2

értéke a lehető legnagyobb. A szélsőérték helyét a másodfokú kifejezés teljes négyzetté alakításával lehet egyszerűen meghatározni:

\begin{matrix} 3 {(R_{a} - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{2}{3} . \end{matrix}

Innen leolvasható, hogy a maximumot az

[\frac{1}{2}; \frac{\sqrt[]{3}}{2}]

zárt intervallum

\frac{2}{3}

-tól távolabbi végpontjában kapjuk. Ez az érték a

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

, a háromszög magassága. A lefedett terület tehát akkor maximális, ha a körök egyike a lehető legnagyobb, érinti a háromszög szemközti oldalát és a másik két kört. A körök sugara ekkor

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

1 - \frac{\sqrt[]{3}}{2}

1 - \frac{\sqrt[]{3}}{2}

Megjegyzés. Fejes Tóth László¹, a magyar diszkrét geometriai iskola megalapítója vizsgálta egybevágó körök legsűrűbb elhelyezését a síkon. Érdekes problémák vetődnek fel a különböző sugarú körök vizsgálatakor. Ehhez kapcsolódik a feladatunkban kapott elrendezés, hiszen ez több elhelyezési probléma optimális megoldásaként is adódik. Ilyen például a két különböző sugarú kör legsűrűbb elhelyezése a síkon. Egy hasonló feladat: tekintsük azt a síkbeli ,,vízmolekulát'', amelynek két kisebb atomja úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a feladatunkban kapott körök; mekkora lesz ilyen esetben a molekulák legsűrűbb elrendezésének a sűrűsége, és milyen lesz az elrendezés szerkezete?

¹A közelmúltban elhunyt Fejes Tóth Lászlóról szóló megemlékezést ld. lapunk 258. oldalán.