Kezdőlap


Feladat:	639. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schreiber Béla
Füzet:	1938/február, 187 - 188. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Lineáris hőtágulás, Erőrendszer eredője, Súlypont, Erők forgatónyomatéka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 639. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyik rúd hossza legyen $0^{\circ}$ -nál $l_{1}$ , sűrűsége (az egységnyi hosszra eső tömeg) $d_{1}$ , lineáris tágulási együtthatója $α_{1}$ ; a másik rúdra vonatkozó ugyanezen adatok $l_{2}$ , $d_{2}$ , $α_{2}$ . Mindegyik keresztmetszete legyen $q$ . A rudak $S_{1}$ , ill. $S_{2}$ súlypontja a két rúd $O$ forrasztási helyétől $\frac{1}{2} l_{1}$ , ill. $\frac{1}{2} l_{2}$ távolságban van. A közös $S$ súlypont távolsága $O$ -tól legyen $x$ . Az $S$ pontban egyesítve képzelt egész súly forgató nyomatéka $O$ pontra vonatkozólag egyenlő az $S_{1}$ , ill. $S_{2}$ pontban ható súlyok forgató nyomatékának algebrai összegével, azaz, ha $S_{2}$ -ét pozitívnak tekintjük, akkor

\begin{matrix} q (l_{1} d_{1} + l_{2} d_{2}) x = (l_{2} d_{2} \frac{l_{2}}{2} - l_{1} d_{1} \frac{l_{1}}{2}) q \end{matrix}

és

\begin{matrix} x = \frac{l_{2}^{2} d_{2} - l_{1}^{2} d_{1}}{2 (l_{1} d_{1} + l_{2} d_{2})} . \end{matrix}

(Ha

l_{2}^{2} d_{2} - l_{1}^{2} d_{1} > 0

, akkor

S

O

és

S_{2}

között,

l_{2}^{2} d_{2} - l_{1}^{2} d_{1} < 0

esetben

S

O

és

S_{1}

között van).
Ha a rúd

q

keresztmetszete elég kicsiny úgy, hogy ennek kiterjedésétől eltekinthetünk, akkor

x

nevezője állandó, mert

(l_{1} d_{1} + l_{2} d_{2}) q

az egész tömeget jelenti. Tehát csak azt kell vizsgálnunk, mi a feltétele annak, hogy a számláló értéke legyen független a

t

hőmérséklettől?

t

hőmérsékleten a rudak hossza

l_{1} (1 + α_{1} t)

, ill.

l_{2} (1 + α_{2} t)

, a sűrűségek értéke

\frac{d_{1}}{1 + α_{1} t}

, ill.

\frac{d_{2}}{1 + α_{2} t}

. Eszerint a számláló értéke

t

-től független, ha

\begin{matrix} l_{2}^{2} d_{2} - l_{1}^{2} d_{1} = l_{2}^{2} {(1 + α_{2} t)}^{2} \frac{d_{2}}{1 + α_{2} t} - l_{1}^{2} {(1 + α_{1} t)}^{2} \frac{d_{1}}{1 + α_{1} t} . \end{matrix}

A kijelölt műveletek elvégzése és összevonás után keletkezik:

\begin{matrix} (l_{2}^{2} d_{2} α_{2} - l_{1}^{2} d_{1} α_{1}) t = 0. \end{matrix}

Ezen feltételnek a

t

bármely értékénél fenn kell állania, azaz

\begin{matrix} l_{2}^{2} d_{2} α_{2} - l_{1}^{2} d_{1} α_{1} = 0, vagyis \frac{l_{1}}{l_{2}} = \sqrt[]{\frac{d_{2} α_{2}}{d_{1} α_{1}}} . \end{matrix}

Schreiber Béla (Izr. rg. VIII. o. Bp.).