Kezdőlap


Feladat:	637. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berger Tibor , Bizám György , Bozsik György , Csáky Gy. , Cseresnyés Zoltán , Czipott Zoltán , Destek M. , Egri György , Fehér György , Fonó Katalin , Forró P. , Gállik István , Halász Iván , Horváth I. , Katter H. , Lőke Péter , Mandl Béla , Mató J. , Mezey Géza , Nagy Elemér , Orbán O. , Pálfay Ferenc , Róth Pál , Sebestyén Gyula , Szilágyi S. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Zsoldos Elek
Füzet:	1938/február, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Mértani közép, Feladat, Erőrendszer eredője
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 637. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a két erő támadási pontja közös. E két erő legyen $p_{1}$ , $p_{2}$ , az általuk bezárt szög $α$ és eredőjük $p$ . A feladat követelménye, hogy

\begin{matrix} p^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} p_{2} cos α = p_{1} p_{2} \end{matrix}

legyen, tehát

\begin{matrix} cos α = \frac{1}{2} [1 - (\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}})] . \end{matrix}

Minthogy

\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} > 1, cos α < 0, 90^{\circ} < α < 270^{\circ}

.
Azonban a

180^{\circ} < α < 270^{\circ}

esetekben a két erő által bezárt szög tekinthető negatív forgással keletkező tompaszögnek is, úgy hogy mondhatjuk:

α

tompaszög.
Ismeretes, hogy ha

a

b

pozitív számok, akkor

\begin{matrix} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} \geq 2, \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos α \leq - \frac{1}{2}, 180^{\circ} \geq α \geq 120^{\circ}, \end{matrix}

azaz

cos α

legnagyobb érléke

- \frac{1}{2}

, akkor áll elő, ha

p_{1} = p_{2}

és ekkor

α = 120^{\circ}

α

legkisebb értéke.
Minthogy kell, hogy

cos α \geq - 1

legyen, azért

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} \leq 3, vagyis p_{1}^{2} + p_{2}^{2} \leq 3 p_{1} p_{2} \\ ill. {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{2} - 3 (\frac{p_{1}}{p_{2}}) + 1 \leq 0. \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} \frac{3 - \sqrt[]{5}}{2} \leq \frac{p_{1}}{p_{2}} \leq \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Ez a feltétele annak, hogy két erő eredője a mértani középarányosukkal lehessen egyenlő.

Egri György (Kölcsey Ferenc g. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. A

\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} \leq 3

követelmény

\begin{matrix} p_{1}^{2} - 2 p_{1} p_{2} + p_{2}^{2} \leq p_{1} p_{2}, ill. | p_{1} - p_{2} | \leq \sqrt[]{p_{1} p_{2}} \end{matrix}

alakban is írható.

| p_{1} - p_{2} |

a két erő eredője, tekintet nélkül az irányra, ha szögük

180^{\circ}

; tehát ebben az esetben kell, hogy

| p_{1} - p_{2} |

a két erő mértani középarányosával legyen egyenlő.