Kezdőlap


Feladat:	634. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró I. , br. Fejérváry Zs. , Destek M. , Füzy O. , Gállik István , Horváth I. , Jani K. , Jánoshegyi F. , Kelemen I. , Klein Kató , Krebsz J. , Krisztonovich János , Lőke Péter , Magyar Gy. , Orbán O. , Pálfay P. , Róth Pál , Sándor Gyula , Székely Z. , Than Károly , Tóbiás I. , Törley D. , Zsoldos Elek
Füzet:	1938/január, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási energia, Tömegpont dinamikája, Matematikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 634. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $l$ hosszúságú matematikai ingát egyensúlyi helyzetéből $ε$ szöggel kimozdítjuk, nívójának emelkedését $h = l - cos ε = l (1 - cos ε)$ fejezi ki és $m g h$ helyzeti energiára tesz szert. Amidőn helyzeti energiája felére csökkent, akkora kinetikai energiát nyert, amely helyzeti energiájának felével egyenlő. Ha lineáris sebessége ekkor $v$ , akkor

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m g h és innen v = \sqrt[]{g h}, ... \end{matrix}

(1)

ahol

h = l (1 - cos ε)

. Másodpercingáról lévén szó

\begin{matrix} l = \frac{g}{π^{2}}, h = \frac{g}{π^{2}} (1 - cos ε) és v = \frac{g}{π} \sqrt[]{1 - cos ε} . ... \end{matrix}

(2)

A szögsebesség ekkor

\begin{matrix} ω = \frac{v}{l} = v : \frac{g}{π^{2}} = π \sqrt[]{1 - cos ε} . ... \end{matrix}

(3)

Azonban

ε

kicsiny szög, úgy hogy

1 - cos ε = 2 {sin}^{2} \frac{ε}{2} = 2 \cdot \frac{ε^{2}}{4} = \frac{ε^{2}}{2}

, ha

ε

a szög abszolút mérőszámát jelenti, ^{$^{*}$} és így

\begin{matrix} ω = π \cdot ε \cdot \sqrt[]{\frac{1}{2}} = \frac{π ε}{2} \sqrt[]{2} = 3, 14159 \cdot 0, 05236 \cdot 0, 70711 = 0, 11628 {sec}^{- 1} . \end{matrix}

Ezen

ω

feleljen meg

x

elongációnak, amikor tehát az inga egyensúlyi helyzete felett

\frac{h}{2}

magasságban van, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{2} h = l (1 - cos x) = \frac{1}{2} l (1 - cos ε) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 2 {sin}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 {sin}^{2} \frac{ε}{2}, \end{matrix}

és így tekintettel a szögek kicsinységére

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{x^{2}}{4} = \frac{ε^{2}}{4}, ill. x = \frac{ε}{\sqrt[]{2}} . Fokokban is x^{\circ} = \frac{3^{\circ}}{\sqrt[]{2}} = 2^{\circ} 7' . \end{matrix}

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp. VI.)

^{$^{*}$}

3^{\circ}

abszolut mérőszáma

5

tizedesig:

0, 05236.