Kezdőlap


Feladat:	616. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1937/október, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 616. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az elhajított golyó pályájának egyenlete:¹

\begin{matrix} y = - \frac{1}{2} \frac{g}{c^{2} cos^{2} α} x^{2} + x tg α + h ... \end{matrix}

(1)

O B

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = x tg β ... \end{matrix}

(2)

Keresnünk kell az 1) parabola és a 2) egyenes közös pontját. Ennek abscissáját megadja az

\begin{matrix} x tg β = - \frac{1}{2} \frac{g}{c^{2} cos^{2} α} x + x tg α + h \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{g}{c^{2} cos^{2} α} x^{2} + (tg β - tg α) x - h = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlet pozitiv gyöke.² Ezt kiszámítva:

O B = \frac{x}{cos β}

2^{0}

O B

értéke maximum lesz, amidőn

x

értéke is az. Hogy

x

maximális értékét megállapítsuk, ugyanúgy járunk el, mint a 606. feladatban: keressük, minő

x

értékekhez tartoznak egyáltalában

α

értékek. Ezen célból a 3) egyenletet

tg α = \frac{sin α}{cos α}

és

x = d

helyettesítése után

cos α

-ra nézve rendezzük és így keletkezik:³

\begin{matrix} 4 c^{4} [d^{2} + {(h - d tg β)}^{2}] cos^{4} α - 4 c^{2} d^{2} [g (h - d tg β) + c^{2}] cos^{2} α + g^{2} d^{4} = 0 ... \end{matrix}

(4)

Ezen egyenletnek valósak a gyökei, ha

\begin{matrix} {[g (h - d tg β) + c^{2}]}^{2} - g^{2} [d^{2} + {(h - d tg β)}^{2}] ≧ 0, \end{matrix}

ill. a kijelölt műveletek végrehajtása és rendezés után

\begin{matrix} f (d) \equiv g^{2} d^{2} + 2 c^{2} g tg β \cdot d - (c^{4} + 2 c^{2} g h) ≦ 0 ... \end{matrix}

(5)

Az egyenlőtlenség baloldala

d

-nek oly másodfokú függvénye, mely negatív az

f (d) = 0

egyenlet gyökei között; ezen gyökök ellenkező előjelűek. Így 5) ki van elégítve, ha

\begin{matrix} 0 < d ≦ \frac{1}{g} [- c^{2} tg β + c \sqrt[]{c^{2} ({tg}^{2} β + 1) + 2 g h}] ... \end{matrix}

(6)

Eszerint

d

legnagyobb értéke

\begin{matrix} D = \frac{c}{g} [- c tg β + \sqrt[]{c^{2} ({tg}^{2} β + 1) + 2 g h}] ... \end{matrix}

(7)

és így

O B_{{max}_{}^{}} = \frac{D}{cos β}

\begin{matrix} Ha d = D, akkor cos^{2} α_{m} = \frac{D^{2} [g (h - D tg β) + c^{2}]}{2 c^{2} [D^{2} + {(h - D tg β)}^{2}]} . \end{matrix}

¹Részletesen kifejtve a 606. feladatban (XIII. évf. 289. o ‐ azaz 1937/5. 289. old).

²A 3) egyenletnek gyökei valósak és ellenkező előjelűek.

³Ha a 3)-ban $x$ helyen $d$ -t írunk, az így keletkező egyenlet abban különbözik a 606. feladat 1) egyenletétől, hogy $h$ helyett $h - d tg β$ áll; ezért a 4) és a következő összefüggések is abban különböznek a 606. feladat analóg összefüggéseitől, hogy h helyett $h - d tg β$ áll.