Kezdőlap


Feladat:	652. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók L. , Bozsik György , Fehér György , Gáspár Rezső , Mezey Géza , Nádler M. , Pálfay Ferenc , Szabó Béla , Szentmiklósi L. , Szerényi László
Füzet:	1938/május, 289 - 290. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 652. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ lejtőn végigfutó $m$ tömegű test $v$ végsebességre tesz szert: $v = \sqrt[]{2 g s sin α}$ .

Ezen

v

sebességet felbontjuk két egymásra merőleges összetevőre; az egyik,

v_{1}

B

lejtő irányában esik, a másik,

v_{2}

az előbbire merőleges. A

B

lejtőn a

v_{1}

kezdősebesség érvényesül:

\begin{matrix} v_{1} = v cos (α + 30^{\circ}) = \sqrt[]{2 g s sin α cos^{2} (α + 10^{\circ})}, \end{matrix}

m

tömegű pont a

B

lejtőn lehető legmagasabbra jut, ha

v_{1}

értéke a legnagyobb. Vizsgálnunk kell tehát, hogy az

\begin{matrix} y = sin α cos^{2} (α + 30^{\circ}) \end{matrix}

függvény

α

mely értéke mellett lesz maximum?

\begin{matrix} y' & = cos α cos^{2} (α + 30^{\circ}) - 2 sin α cos (sin + 30^{\circ} sin (α + 30^{\circ}) = \\ = cos (α + 30^{\circ}) [cos α cos (α + 30^{\circ}) - 2 sin α sin (α + 30^{\circ})] = \\ = cos (α + 30^{\circ}) [\frac{1}{2} {cos (2 α + 30^{\circ}) + cos 30^{\circ}} - {cos 30^{\circ} - cos (2 α + 30^{\circ})}] = \\ = cos (α + 30^{\circ}) [\frac{3}{2} cos (2 α + 30^{\circ}) - \frac{1}{2} cos 30^{\circ}] \end{matrix}

y' = 0

, ha

cos (α + 30^{\circ}) = 0

, vagy ha a szögletes zárójelben foglalt kifejezés tűnik el.
I.

cos (α + 30^{\circ}) = 0

mellett

α + 30^{\circ} = 90^{\circ}

α = 60^{\circ}

.
Ebben az esetben az

A

lejtő merőleges a

B

-re,

v_{1} = 0

, azaz az m golyó nem fut fel a B lejtőre.¹
II.

\frac{3}{2} cos (2 α + 30^{\circ}) - \frac{1}{2} cos 30^{\circ} = 0, ha

\begin{matrix} cos (2 α + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt[]{3}}{6}, ill. α = 21^{\circ} 36' . \end{matrix}

Ezen a helyen

y'

pozitív értékekből megy át negatív értékekbe, tehát itt az

y

függvénynek maximuma van.²
A golyó a

B

lejtőn

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{2 g s sin 21^{\circ} 36'} cos 51^{\circ} 36' = \sqrt[]{2 g \cdot 100 sin 21^{\circ} 36'} cos 51^{\circ} 36' \end{matrix}

sebességgel indul el. Megáll akkor, ha

\begin{matrix} v_{1} = g sin 30^{\circ} \cdot t, azaz t = \frac{2 v_{1}}{g} sec \end{matrix}

múlva. Ezen idő alatt megtett út:

\begin{matrix} s' = v_{1} t - \frac{1}{2} g sin 30^{\circ} \cdot t^{2} = \frac{2 v_{1}^{2}}{g} - \frac{g}{4} \cdot \frac{4 v_{1}^{2}}{g^{2}} = \frac{v_{1}^{2}}{g} \\ s' = \frac{2 g \cdot 100 \cdot sin 21^{\circ} 36' cos^{2} 51^{\circ} 36'}{g} = 200 sin 21^{\circ} 36' cos^{2} 51^{\circ} 31' \\ s' \sim 28, 4 cm \end{matrix}

Jegyzet. A megoldások nem fektetnek súlyt annak kimutatására, hogy az

α = 21^{\circ} 36'

érték mellett a vizsgált függvénynek valóban maximuma van.

¹Akkor sem, ha

α > 60^{\circ}

²Ha $α < 21^{\circ} 36'$ , akkor a $\frac{3}{2} cos (2 α + 30^{\circ}) - \frac{1}{2} cos 30^{\circ}$ különbség első tagja nagyobb, mint $\frac{1}{2} cos 30^{\circ}$ ; ellenben kisebb akkor, ha $α > 21^{\circ} 36'$ .
$y'$ másik tényezője, t. i. $cos (α + 30^{\circ}) > 0$ az $α = 21^{\circ} 36'$ környezetében.