Kezdőlap


Feladat:	651. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bozsik György , Fehér György , Gállik István , Gáspár Rezső , Lőke Péter , Pálfay Ferenc , Róth Pál , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Szablics Ferenc , Zsoldos Elek
Füzet:	1938/május, 288 - 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függőleges hajítás, Mozgási energia, Gravitációs helyzeti energia, Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 651. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $m$ tömegre ható $P$ erő az $m$ elmozdulása közben változik, akkor az erő munkája

\begin{matrix} L = {lim}_{Δ x \to 0}^{} Σ P Δ x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} P d x . \end{matrix}

Itt

Δ x

az erő irányába eső elmozdulást jelenti.
Az adott esetben

P = m g_{x}

, ha

g_{x}

a nehézségi gyorsulást jelenti a Föld színe felett

x

magasságban, a gömbnek tekintett Föld középpontjától

R + x

távolságban. Newton törvényével

\begin{matrix} g_{x} : g = R^{2} : {(R + x)}^{2}, azaz g_{x} = \frac{g R^{2}}{{(R + x)}^{2}} . \end{matrix}

Ha tehát az

m

tömegű test a Föld felszínéről

(x = 0) x = h

magasságig emelkedik, akkor a nehézségi erő ellenében végzett munka

\begin{matrix} L = \int_{0}^{h} \frac{m g R^{2}}{{(R + x)}^{2}} d x = m g R^{2} \int_{0}^{h} \frac{d x}{{(R + x)}^{2}} = m g R^{2} {[- \frac{1}{R + x}]}_{0}^{h} = \\ m g R^{2} [- \frac{1}{R + x} + \frac{1}{R}] = \frac{m g R h}{R + h} . \end{matrix}

m

tömegű golyó

v

kezdősebessége folytán emelkedik, amíg mozgási energiája el nem fogy; ezen energiát felemészti a nehézségi erő ellenében végzett munka. A sebesség azon

h

magasságban válik zérussá, amelyben

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{m g R h}{R + h}, azaz h = \frac{v^{2} R}{2 g R - v^{2}} = \frac{R}{\frac{2 g R}{v^{2}} - 1} . \end{matrix}

A megadott numerikus értékekkel:

h = 50, 395 km

.
A

h

magasságba zérus sebességgel érkező golyó helyzeti energiája a mozgási energia kezdő értékével egyenlő:

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} 10 gr. {(10^{5} {cmsec}^{- 1})}^{2} = \frac{1}{2} 10^{11} erg = \\ = 5 \cdot 10^{10} erg = 5 \cdot 10^{3} joule = \frac{5 \cdot 10^{3}}{9, 8} méterkg \sim 509, 7 méterkg . \end{matrix}

Gállik István (Prem. g. VIII. o., Gödöllő.)

Jegyzet. Az

L = \frac{m g R h}{R + h}

képlet azt mutatja, hogy a munka kiszámításánál

g

kezdő és végértékének, t. i.

\begin{matrix} g és \frac{g R^{2}}{{(R + h)}^{2}} \end{matrix}

mértani középarányosát vehetjük; ez pedig

\frac{g R}{R + h} .

Azonban semmivel nem lehet indokolni azt, hogy ezen két érték számtani közepét vegyük!
Számításunkban nem voltunk tekintettel a Föld forgására!